Sửa lại bài bạn ở trên:

Ta có: x⁴ + y⁴ + z⁴ \(\ge\)(xy)² + (yz)² + (zx)²

\(\ge\)xzy² + xyz² + yzx² = xyz(x + y + z) = xyz

Dấu = xảy ra khi x = y = z

Kết hợp với x + y + z = 1

\(\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

đề => \(x^4+y^4+z^4=xyz\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)

ta có bđt \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

áp dụng ta được \(\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge xy.yz+xy.zx+yz.xz=xyz\left(x+y+z\right)\)

dấu "=" xảy ra <=> x=y=z

mà x+y+z=1

=>x=y=z=1/3 

(nếu cần cm bđt phụ thì nói mình nha)

Cám ơn bạn, mình làm được rồi!

Ta có :

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x^4+y^4+z^4=xyz.\left(x+y+z\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)TA CÓ :

\(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\ge xy.yz+yz.zx+zx.xy\)\(=xyz.\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\)\(x=y=z\)

Mà \(x+y+z=1\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\)

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x^4+y^4+z^4=xyz.\left(x+y+z\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)ta có :

\(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy.yz+yz.zx+zx.xy=xyz.\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z\)

Mà \(x+y+z=1\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy hệ phương trình có nguyệm \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\)

( mình mới lớp 7 à nên có làm sai thì thông cảm giùm nha )

Áp dụng bđt : a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ca thì :

x^4+y^4+z^4 >= x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 >= xy^2z + yz^2x + zx^2y = xyz.(x+y+z) = xyz ( vì x+y+z = 1 )

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z và xyz=1 <=> x=y=z=1

Vậy .............

Tk mk nha

Hazzz.... mình bít làm òi, đăng lộn câu hỏi, nhưng dù sao cũng cảm ơn bạn :) 

Nguyễn Anh Quân làm đúng nhưng đoạn cuối phải dấu bằng xảy ra khi x=y=z và x+y+z=1 nhé chứ kp xyz=1 

Ta có :\(.\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\left(x+y+z\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=x^2yz+xy^2z+xyz^2\end{cases}}\)

Áp dụng bđt AM - GM ta có : 

\(x^2yz\le\frac{x^4+x^4+y^4+z^4}{4}=\frac{2x^4+y^4+z^4}{4}\)

\(xy^2z\le\frac{x^4+y^4+y^4+z^4}{4}=\frac{x^4+2y^4+z^4}{4}\)

\(xyz^2\le\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}=\frac{x^4+y^4+2z^4}{4}\)

\(\Rightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{4\left(x^4+y^4+z^4\right)}{4}=x^4+y^4+z^4\)

Mà hệ phương trình lại cho \(x^2yz+xy^2z+xyz^2=x^4+y^4+z^4\)

\(\Rightarrow x=y=z\)

Kết hợp với đề bài ta được : \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x=y=z\end{cases}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}}\)

mk nghĩ bạn viết sai đề bài ; mk đoán đề bài ntn \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}=3\\x+y+z\le12\end{cases}}\) 

để mk làm theo đề bài của mk nhé 

nhân từng vế của các bất đẳng thức ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right)\left(x+y+z\right)=\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\ge\left(1+2+3\right)^2=36\)( bất đẳng thức bu-nhi-a- cốp=xki)

dấu ''='' xảy ra khi \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\) ==> \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)

x=2;y=4;z=6 nha 

cảm ơn bạn nha