(Thử sức với phương pháp \(p,q,r\) xem nào!)

Đặt \(p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz\).

Khi đó \(p^2-2q=1\) nên \(q=\frac{p^2-1}{2}\).

Biểu thức cần tìm max là \(S=x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

Viết lại dưới dạng \(S=p\left(1-q\right)=p-\frac{p\left(p^2-1\right)}{2}=-\frac{p^3}{2}+\frac{3p}{2}\)

-----

Nếu có thêm giả thiết \(x,y,z\) không âm thì:

\(2S=-\left(p^3-3p\right)=-\left(p-1\right)^2\left(p+2\right)+2\le2\) và đẳng thức xảy ra tại \(p=1\).

Nếu ko có giả thiết \(x,y,z\) không âm thì xin thưa là đề sai.

Em nghĩ là có kể cả khi không giả thiết x,y,z không âm

Đã ra đáp số

GTLN: P =2

Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=3\)

\(P=3a^2+b^2+3c^2\)

Biểu thức này chỉ có min, không có max

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

\(\frac{x}{x^3+y^2+z}=\frac{x\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}{\left(x^3+y^2+z\right)\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}\le\frac{1+x+xz}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1+x+xz}{9}\)

Tương tự rồi cộng lại ta được:

\(T\le\frac{3+x+y+z+xy+yz+zx}{9}=\frac{6+xy+yz+zx}{9}\le\frac{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{9}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)

x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]

2 cái bằng nhau

Chứng minh hộ tui phát

Ta có (a + b + c)³ =  a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3b²a + 3b²c + 3c²a + 3c²b + 6abc

=> VT = (a + b + c)³ - (3a²b + 3a²c + 3b²a + 3b²c + 3c²a + 3c²b + 9abc)

= (a + b + c)³ - (3a²b + 3b²a + abc) - (3a²c + 3c²a + 3abc) - (3b²c + 3c²b + 3abc)

= (a + b + c)[a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc) - 3(ab + bc + ac)]

= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac)

VP = \(\frac{1}{2}\)(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]

= \(\frac{1}{2}\)(x+y+z)(2x² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac)

= (x+y+z)(x² + b² + c² - ab - bc - ac)

Từ đó => VT=VP