nhân liên hợp nhé

Điều kiện xác định: \(0\le x\le1\)
Nhận ra rằng phương trình có nghiệm \(x=\frac{1}{2}\)khi x = 1-x nên ta sẽ dùng phương pháp đánh giá.
Với mọi a, b ta có: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\).
Suy ra: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)^2< 2\left(\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{1-x}\right)^2\right)=2\)
Vậy \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\le\sqrt{2}\left(1\right)\)
Với mọi a, b ta luôn có: \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\)
Thật vậy: \(\left(a+b\right)^4=\left(a+b\right)^2\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right).2\left(a^2+b^2\right)=4\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(4\left(a^2+b^2\right)^2< 4.2.\left(a^4+b^4\right)=8\left(a^4+b^4\right)\)suy ra: \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\)
áp dụng BĐT trên cho \(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\)ta có:
\(\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\right)^4\le8\left(\left(\sqrt[4]{x}\right)^4+\left(\sqrt[4]{1-x}\right)^4\right)=8\) 
Suy ra:\(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\le\sqrt[4]{8}\left(2\right)\)
từ (1), (2) suy ra: \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\le\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}\)
Dấu "=" xảy ra: \(x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)(thoản mãn).

'

bài toán:

  √x+√1−x+4√x+4√1−x=√2+4√8

ĐK: \(4x^2+5x+1\ge0\Leftrightarrow\left(4x+1\right)\left(x+1\right)\ge0\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}x\le-1\\x\ge\frac{-1}{4}\end{cases}}\)

PT trên tương đương: \(\sqrt{4x^2+5x+1}-\sqrt{4x^2-4x+4}=9x-3\)

Đặt \(a=\sqrt{4x^2+5x+1}\ge0;b=\sqrt{4x^2-4x+4}>0\) ta có hệ PT:

\(\hept{\begin{cases}a-b=9x-3\\a^2-b^2=9x-3\end{cases}}\Leftrightarrow a-b=a^2-b^2\)

<=>a-b=(a-b)(a+b)

<=>(a-b)(1-a-b)=0

<=>a=b hoặc 1-a-b=0

*Khi a=b  thì: \(\sqrt{4x^2+5x+1}=\sqrt{4x^2-4x+4}\Leftrightarrow9x-3=0\)

<=>x=1/3(nhận)

*Khi 1-a-b=0 =>a+b=1 

=>\(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4}=1\)(vô lí vì: \(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4}\ge\sqrt{3}>1\))

Vậy tập nghiệm của PT là: S={1/3}

kho nhi

bài này liên hợp 

pt<=> \(\frac{4x^2+5x+1-4\left(x^2-x+1\right)}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}-\left(9x-3\right)=0\)   ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ge-\frac{1}{4}\\x\le-1\end{cases}}\)

<=> \(\frac{9x-3}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}-\left(9x-3\right)=0\)

<=> \(\left(9x-3\right)\left(\frac{1}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}-1\right)=0\) 

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\\frac{1}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}-1=0\end{cases}}\)

mà cái pt dưới vô nghiệm nên x=1/3

vậy x=\(\frac{1}{3}\)

x=1

Mik tính bằng máy tính đó. Mik mới học lớp 8 thôi, chưa giải được. ^^

đặt \(\sqrt{\frac{4x+9}{28}}=y+\frac{1}{2}\)(\(y\ge-\frac{1}{2}\))

<=> \(\frac{4x+9}{28}=y^2+y+\frac{1}{4}\)

<=. \(7y^2+7y=x+\frac{1}{2}\)

kết hợp với pt ban đầu ta có hệ pt \(\hept{\begin{cases}7x^2+7x=y+\frac{1}{2}\\7y^2+7y=x+\frac{1}{2}\end{cases}}\)

trừ 2 vế của 2 pt ta có \(7\left(x^2-y^2\right)+7\left(x-y\right)=y-x\)

                <=> \(7\left(x-y\right)\left(x+y\right)+7\left(x-y\right)+x-y=0\)

           <= .\(\left(x-y\right)\left(7x+7y+8\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=y\\7x+7y+8=0\end{cases}}\)(vô lí )

khi đó thay x=y vào là ok nhé 

Đặt a=x²+x+2>0, phương trình trên trở thành:

\(\sqrt{a+5}+\sqrt{a}=\sqrt{3a+13}\)

\(\Rightarrow2a+5+2\sqrt{a^2+5a}=3a+13\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{a^2+5a}=a+8\)

\(\Leftrightarrow4a^2+20a=a^2+16a+64\)

\(\Leftrightarrow3a^2+4a-64=0\)

\(\Delta=784>0\Rightarrow\sqrt{\Delta}=28\)

=>PT có 2 nghiệm phân biệt: \(a_1=4\)(nhận);\(a_2=-\frac{16}{3}\)(loại)

Do đó : \(x^2+x+2=4\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)

Ta có : a+b+c=1+1-2=0 

=>phương trình có 2 nghiệm pb: \(x_1=1;x_2=-2\)

Vậy tập nghiệm của PT là: S={1;-2}

mình ko bjt, mình mới hok lớp 7

Mk ko bit

đặt \(\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=a\) và \(\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=b\)

ta có hệ pt \(\hept{\begin{cases}ab=1\\\sqrt{a}+b=2\end{cases}}\)

đến đây cậu giải nốt nha

to khong biet

Lấy bài ở đâu ra mà lắm câu hỏi được đưa vào câu hỏi hay thế

ĐKXĐ:...

a. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+4x+16}=a>0\\\sqrt{x+70}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow6x^2+10x-92=3a^2-2b^2\)

Pt trở thành:

\(3a^2-2b^2+ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(3a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3a=2b\)

\(\Leftrightarrow9\left(2x^2+4x+16\right)=4\left(x+70\right)\)

\(\Leftrightarrow...\)

b. ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{1-x}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

Phương trình trở thành:

\(a^2+2+ab=3a+b\)

\(\Leftrightarrow a^2-3a+2+ab-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)+b\left(a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=1\\\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

\(\sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=4-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

\(\Rightarrow2-x^2+2-\frac{1}{x^2}+2\sqrt{\left(2-x^2\right)\left(2-\frac{1}{x^2}\right)}=16-8\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\)

\(\Rightarrow4-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+2\sqrt{5-2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}=16-8\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2\sqrt{5-2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}=8\left(x+\frac{1}{x}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-12\)

Đặt \(a=x+\frac{1}{x}\Rightarrow\left|a\right|=\left|x+\frac{1}{x}\right|=\left|x\right|+\frac{1}{\left|x\right|}\ge2\Rightarrow\left|a\right|\ge2\)

Phươn trình trở thành:

\(a^2-2+2\sqrt{5-2\left(a^2-2\right)}=8a-a^2-12\)

Tớ nghĩ là theo cách này có vẻ khả quan