Ta có:  \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)\(\Rightarrow\)\(\left(b-a\right).\left(a-b\right)=1.ab\)(nhân chéo) 

\(\Leftrightarrow\)\(-\left(a-b\right).\left(a-b\right)=ab\)\(\Leftrightarrow\)\(-\left(a-b\right)^2=ab\)

Lại có: \(-\left(a-b\right)^2\le0\)với mọi a;b nên ab \(\le\)0  

Vậy số cặp số dương a và b là 0 (cặp)

Bài này cần chú ý: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{ac}\)

Và \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Thêm 3 vào 2 vế ta cần chứng minh:

\(\frac{2}{1-a}+\frac{2}{1-b}+\frac{2}{1-c}\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2}\) (chia hai vế cho 2 và chú ý 1 =a + b + c)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{ac}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{1}{ac}-\frac{a+b+2c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\)

Quy đồng mỗi cái ngoặc to phía sau là thấy nó > 0:D

Giả sử c = min{a,b,c} như vậy (a-c)(b-c)\(\ge0\) chúng ta có đpcm.

Is that true?

WLOG \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\). Áp dụng một bổ đề trong một bài giải của alibaba nguyễn trong câu hỏi của Neet ở học 24. Mọi người có thể tự chứng minh để nhớ lâu hoặc ai cần có thể hỏi ổng

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\) với a,b,c>0

Khi đó ta cần chứng minh \(2\left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+2\ge\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{2b+c+a}{c+a}+\frac{2c+a+b}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}-\frac{1}{2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}-\frac{1}{2}\ge\frac{b}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a+c+2b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)*đúng với \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\)*

Lục vui câu hỏi của cô Chi thấy vài bài ngon mà mấy God dùng đao to vãi :))

\(\frac{1+a}{1-a}=\frac{1-a+2a}{1-a}=1+\frac{2a}{1-a}=1+\frac{2a}{b+c}\)

Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(3+\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{3}{2}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ac}{b\left(b+c\right)}+\frac{bc}{a\left(a+b\right)}+\frac{ab}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}\)

Mặt khác:

\(LHS=\Sigma\frac{ac}{b\left(b+c\right)}=\Sigma\frac{a^2c^2}{abc\left(b+c\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\Sigma abc\left(b+c\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)

Tuy nhiên đây là bổ đề quen thuộc

Vậy ta có đpcm

\(\frac{a}{3}\)=\(\frac{1}{a+b}\)

a(a+b)=3=1.3( vì a b nguyên dương không lấy giá trị âm)

th1 a=1 => a+b=3 => b=2

TH2 a=3 => a+b=1 => b= -2 loại

\(\frac{a}{3}=\frac{1}{a+b}\)

a(a + b) = 3 = 3 . 1 = (-3) . (-1)

TH1: a=  3 

3 + b = 1 => b=  -2

TH2: a = 1

1 + b = 3 => b = 2

TH3: a = -1

-1 + b = -3 => b = -2

TH4: a = -3

-3 + b = -1 => b = 2

vậy (a ; b) = (3 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-1 ; -2) ; (-3 ; 2) 

điều kiện để tồn tại đẳng thức: a khác b

TH1: a>b suy ra 1/a<1/b suy ra 1/a-1/b <0 suy ra vế trái âm

 mà a>b suy ra a-b>0 suy ra 1/(a-b)>0 suy ra vế phải dương

từ đó suy ra với a>b thì k có cặp số dương a.b thoả mãn 1/a-1/b bằng 1/(a-b)

th2: a<b suy ra 1/a>1/b suy ra 1/a-1/b>0 suy ra vế trái dương

 mà a<b suy ra a-b<0 suy ra 1/(a-b)<0 suy ra vế phải âm

từ đó suy ra với a<b thì k có cặp số dương a.b thoả mãn 1/a-1/b bằng 1/(a-b)

vậy k có cặp số dương a.b thoả mãn 1/a-1/b bằng 1/(a-b)

1/a - 1/b = 1/a-b <=> b ( a - b ) - a ( a - b ) = ab

<=> ab - b² - a² + ab = ab <=> a² + b² - ba = 0

a+b/2 > \(\sqrt{ab}\)<=> a² + b² + 2ab /4 \(\ge\)ab <=> a² +b² - ab \(\ge\)ab 

Do a,b > 0 nên ab > 0 => a² + b² - ab > 0 ( 2 )

Từ 1 và 2 => ko có tồn tại 2 số dương thỏa mãn đề bài

1/a - 1/b = 1/a-b <=> b ( a - b ) - a ( a - b ) = ab

<=> ab - b² - a² + ab = ab <=> a² + b² - ba = 0

a+b/2 > √ab<=> a² + b² + 2ab /4 ≥ab <=> a² +b² - ab ≥ab 

Do a,b > 0 nên ab > 0 => a² + b² - ab > 0 ( 2 )

Từ 1 và 2 => ko có tồn tại 2 số dương thỏa mãn đề bài

Giả sử tồn tại cặp số (a,b) thỏa \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)

=> \(\frac{b-a}{a.b}=\frac{1}{a-b}\) => (b-a)(a-b)=ab

=> -(a-b)(a-b) = ab

hay \(-\left(a-b\right)^2=ab\) (*)

Đẳng thức (*) không thể sảy ra vì vế trái luôn luôn âm và vế phải luôn luôn dương.

Vậy không tồn tại cặp số a,b dương nào thỏa mãn \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)

b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)

\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)

Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:

\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)

\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1