Lời giải:

Đặt \(\underbrace{11....1}_{n}=a\) \(\Rightarrow 1\underbrace{00....0}_{n}=9a+1\Leftrightarrow 9a+1=10^n\)

\(\Rightarrow a=\frac{10^n-1}{9}\). Áp dụng công thức này vào biểu thức M:

Ta có: \(M=\underbrace{11....1}_{2015}\underbrace{2222....2}_{2015}=\underbrace{11....1}_{2015}\underbrace{00....0}_{2015}+\underbrace{22....2}_{2015}\)

\(=\frac{10^{2015}-1}{9}.10^{2015}+2.\frac{10^{2015}-1}{9}\)

\(=\frac{(10^{2015}-1)(10^{2015}+2)}{9}\)

Ta thấy \(\underbrace{11...1}_{2015}=\frac{10^{2015}-1}{9}\in\mathbb{N}\Rightarrow 10^{2015}-1\vdots 3\)

Đặt \(10^{2015}-1=3k(k\in\mathbb{N})\Rightarrow M=\frac{3k(3k+3)}{9}=k(k+1)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp.

Do đó ta có đpcm.

111....1222...2=1111....1.10²⁰¹⁵+2.1111....1(2015 chữ số 1)

=111...1.(10²⁰¹⁵+2) (2015 chữ số 1)

Nhận xét ta thấy:10²⁰¹⁵=999...9+1 (2014 chữ số 9)

=9.1111....1+1 (2014 chữ số 1)

Đặt A=111....1⇒111..1222...2=A.(9A+1+2)=A.(9A+3)=3A.(3A+1)

Mà 3A và 3A+1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên

111....1222...2 có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp (đpcm)

Nhớ tick cho mình nha !!!!!!!!!!!!!!!

Cho ta:  A = 333…33 x 333…34  (mỗi thừa số có n chữ số)

333…33 và 333…34  là hai số tự nhiên liên tiếp.