(Nó có hơi dài dòng)

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x/2020=y/2021=z/2022.Chứng minh rằng: (x-z)^3 =

(x-z)^3= (2020 - 2022)^3 = -8

8(x-y)^2.(y-z)= 8(2020 - 2021)^2 . (2021 - 2022) = -8.

Vì (x-z)^3 = -8

 8(x-y)^2.(y-z) = -8

==> (x-z)^3 = 8(x-y)^2.(y-z)

áp dụng bđt cô si  ta có:

\(\left(x+y\right)+4\ge4\sqrt{x+y};\left(y+z\right)+4\ge4\sqrt{y+z};\left(z+x\right)+4\ge4\sqrt{z+x}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+12\ge4\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)\)

\(\Rightarrow24\ge4\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)\Rightarrow6\ge\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\)

ai lm dc bài này ko ạ. mik đang cần lắm

Đặt \(\dfrac{x}{2019}=\dfrac{y}{2020}=\dfrac{z}{2021}=k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2019k\\y=2020k\\z=2021k\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(4.\left(x-y\right).\left(y-z\right)=4.\left(2019k-2020k\right).\left(2020k-2021k\right)=4.\left(-k\right).\left(-k\right)=4k^2\)

Lại có : \(\left(z-x\right)^2=\left(2021k-2019k\right)^2=4k^2\)

Do đó : \(4.\left(x-y\right).\left(y-z\right)=\left(z-x\right)^2\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).

Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).

Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).

Do đó bđt ban đầu cũng đúng.

Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.