chứng tỏ:\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\)với a,b,c thuộc N*
cho a,b,c thuộc N*và a<b
hãy chứng tỏ\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)và \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Bài 1: Cho a,b,c ∈ N* và A = \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}\).Chứng tỏ 1 < A <2
Bài 2: Chứng tỏ: \(\frac{3}{1.4}+\frac{3}{4.7}+\frac{3}{7.11}+...+\frac{3}{91.94}< 1\)
Các bạn giúp mình với! Cảm ơn!
Bài 1:
Có: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a};\frac{c}{a+c}>\frac{c}{a+c+b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\\ \Rightarrow A>\frac{a+b+c}{a+b+c}\Rightarrow A>1\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a};\frac{c}{a+c}< 1\Rightarrow\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+c+b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+c+a}+\frac{c+b}{a+c+b}\\ \Rightarrow A< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}\Rightarrow A< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\Rightarrow A< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\Rightarrow A< 2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1< A< 2\left(đpcm\right)\)
Bài 2 ;
\(\frac{3}{1.4}+\frac{3}{4.7}+\frac{3}{7.11}+...+\frac{3}{91.94}\)
= \(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+....+\frac{1}{91}-\frac{1}{94}\)
= \(1-\frac{1}{94}< 1\)
Vậy ........(đpcm )
\(a,b,c\in N^{sao}\Rightarrow\frac{a}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)
\(Taco:\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\left(a,b,n\in N^{sao}\right)\Rightarrow A< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=2\left(2\right)\)\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow1< A< 2\)
Cho a,b,c thuộc N* và a < b.
Hãy chứng tỏ: \(\frac{a}{b}\)< \(\frac{a+c}{b+c}\)và 1<\(\frac{a}{a+b}\)+ \(\frac{b}{b+c}\)+ \(\frac{c}{c+a}\)< 2
TA có
\(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}-\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{ab+ac-ab-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{ac-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}\)
vì a>b => a-b > 0 => c(a-b) > 0
=> \(\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}>0\)
\(=>\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}>0\)
\(=>\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\)
=> đpcm
b) Ta có a+b < a+b+c ; b+c < a+b+c ; c+a < a+b+c
\(=>\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(=>\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (1)
Lại có
Áp dùng câu a ta có a< a+b ; b< b+c ; c<c+a
=> \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
\(=>\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (2)
Từ (1) và (2) => dpcm
Cho a,b,c thuộc N* chứng tỏ:
\(\frac{a}{a+b}\)+\(\frac{b}{b+c}\)+\(\frac{c}{c+a}\)không thuộc N
Ta có :
A > a/a+b+c + b/a+b+c + c/ a+b+c = 1
=> A>1 1/
B = b/a+b + c/b+c + a/c+a < b/a+b+c + c/a+b+c + a/a+b+c=1
=>B>1
Mà A+B = 3 và B>1 nên :
=> A < 2 2/
Từ 1/ và 2/ ,
=> 1<A<2 (đpcm)
bài 1 : Cho a thuộc Z , b thuộc N* , n thuộc N* . Chứng minh rằng :
a) Nếu a < b thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)
b) Nếu a > b thì \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)
c) Nếu a = b thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}\)
bài 2 : a) Chứng tỏ rằng nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)( b > 0,d >0) thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa \(\frac{-1}{3}\)và \(\frac{-1}{4}\)
Bài 2 : Theo ví dụ trên ta có : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)=> ad < bc
Suy ra :
\(\Leftrightarrow ad+ab< bc+ba\Leftrightarrow a(b+d)< b(a+c)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
Mặt khác : ad < bc => ad + cd < bc + cd
\(\Leftrightarrow d(a+c)< (b+d)c\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Vậy : ....
b, Theo câu a ta lần lượt có :
\(-\frac{1}{3}< -\frac{1}{4}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)
\(-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}\)
\(-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}\)
Vậy : \(-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)
Vì a=b suy ra a/b = 1
Từ đó suy ra a+n=b+n
Suy ra a+n/b+n=1
a/b=1=a+n/b+n suy ra a/b=a+n/b+n
1:cho \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(với a,b,c\(\ne\)0;b\(\ne\)c) chứng minh rằng\(\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\)
2: cho số tự nhiên n,chứng tỏ A=\(9^{n+2}+3^{n+2}-9^n+3^n⋮10\)
Cho a , b , c thuộc N* và a<b . Hãy chứng tỏ :
\(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}và1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}\)
Áp dụng chứng minh rằng nếu: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) thì:
\(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}\)với n thuộc N
Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a+b}{ab}=\frac{-\left(a+b\right)}{c\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) \(c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) a = -b hoặc b = -c hoặc c = -a
1) Nếu a = -b thì \(a^{2n+1}+b^{2n+1}=-b^{2n+1}+b^{2n+1}=0\)và \(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}=\frac{1}{-b^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}=0\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}\)
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại suy ra đpcm.
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{cases}}\)
Với \(a+b=0\)thì
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}\\\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}\)
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại ta có điều phải chứng minh.
chứng tỏ
1< \(\frac{a}{b+c}\)+ \(\frac{b}{c+a}\)+ \(\frac{c}{a+b}\)< 2
( a,b,c thuộc N sao, và a+b> c ; a+c > b ; c+b > a )
GIẢI RA NHÉ AI ĐÚNG MÌNH TICK