ta có:
\(\frac{a}{a+b}=\frac{a\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\frac{b}{b+c}=\frac{b\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(\frac{c}{c+a}=\frac{c\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\)
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a\left(b+c\right)\left(c+a\right)+b\left(a+b\right)\left(c+a\right)+c\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
dễ thấy phần tử của phép tính trên lớn hơn mẫu => phép tính trên cho kết quả lớn hơn 1
Ta thấy : a/(a+b) > a/(a+b+c)
b/(b+c) > b/(a+b+c)
c/(c+a)>c/(a+b+c)
=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)> a/(a+b+c) +b/(a+b+c) +c/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c) = 1 (đpcm)