chứng minh rằng nếu a+b+c=0 thì:
\(A=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)=9\)
Chứng minh rằng :Nếu a+b+c=0 thì
\(Q=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c+a}\right)=9\)
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)=\left(x,y,z\right)\)
Khi đó :
\(Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)
Ta có :
\(x+y=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}=\frac{a^2-ab+bc-c^2}{ac}=\frac{b\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{ca}\)
\(=\frac{b\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\left(-b\right)}{ac}=\frac{2b\left(c-a\right)}{ca}\) ( do \(a+b+c=0\))
\(\Rightarrow\frac{x+y}{z}=\frac{2b\left(c-a\right)}{ca}.\frac{b}{c-a}=\frac{2b^2}{ca}=\frac{2b^3}{abc}\)
Hoàn toàn tương tự
\(\frac{y+z}{x}=\frac{2c^3}{abc};\frac{x+z}{y}=\frac{2a^3}{abc}\)
Do đó :
\(Q=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}=3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=3\)
\(=3+\frac{2\left[\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)^3+c^3\right]}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+6=9\)
Ta có đpcm
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì \(A=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{c}\right).\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{c}{c-a}\right)=9\)
*Đặt P = (a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b, ta có:
P = (a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b
=> abc.P = ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)
= ab(a-b) + bc(b-a + a-c) + ca(c-a)
= ab(a-b) - bc(a-b) - bc(c-a) + ca(c-a)
= b(a-b)(a-c) + c(c-a)(a-b)
= (a-b)(a-c)(b-c)
=> P = (a-b)(a-c)(b-c)/abc
*Đặt Q = c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a), ta có:
Vì a+b+c = 0 => a+b = -c ; b+c = -a ; c+a = -b
Q = c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a)
=> (a-b)(b-c)(c-a).Q = c(b-c)(c-a) + a(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
= c(b-c)(c-a) + (-b-c)(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
= c(b-c)(c-a) – c(a-b)(c-a) – b(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
= c(c-a)(2b-a-c) + b(a-b)(a+b-2c)
= 3bc(c-a) – 3bc(a-b)
= 3bc(b+c-2a)
= 3bc(-a-2a)
= -9abc
=> Q = -9abc/(a-b)(b-c)(c-a) = 9abc /(a-b)(b-c)(a-c)
Vậy P.Q = 9 (đpcm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
\(A=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)=9\)
bài này có trong nâng cao phát triển toán 8 tập 1 nè!
Gọi \(M=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\)
Ta có : \(M.\frac{c}{a-b}=1+\frac{c}{a-b}\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)=+\frac{c}{a-b}\left(\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\right)\)
\(=1+\frac{c}{a-b}.\frac{\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab}=1+\frac{2c^2}{ab}=1+\frac{2c^3}{abc}\)
Tương tự : \(M.\frac{a}{b-c}=1+\frac{2a^3}{abc};M.\frac{b}{c-a}=+\frac{2b^3}{abc}\)
\(\Rightarrow A=3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=9\)(vì \(a^3+b^3+c^3=3abc\))
Cho a;b;c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c = 0 thì \(\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\times\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)=9\)
tên sai kìa,EKAWADA CONAN mà
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
A=\(\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)=9\)
Thanks mn nha!
Tự nghĩ nha, đây là 1 dạng của bất đảng thức:\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
Cố gắng đưa bài toán của bạn về dấu bằng kia
Cách CM xem trang 43, nâng cao phát triển toán 8 tập 2.
MÌNH GỢI Ý GẦN HẾT RỒI, BẠN TỰ CM NỐT RỒI BẤM ĐÚNG CHO MÌNH NHÉ
Chứng minh rằng :Nếu a+b+c=0 thì
Q=\(\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)\)=9
Lời giải:
Đặt \((\frac{a-b}{c}, \frac{b-c}{a}, \frac{c-a}{b})=(x,y,z)\)
Khi đó:
\(Q=(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)
Ta có:
\(x+y=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}=\frac{a^2-ab+bc-c^2}{ac}=\frac{b(c-a)-(c-a)(c+a)}{ca}\)
\(=\frac{b(c-a)-(c-a)(-b)}{ac}=\frac{2b(c-a)}{ca}\) (do $a+b+c=0$)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{z}=\frac{2b(c-a)}{ca}.\frac{b}{c-a}=\frac{2b^2}{ca}=\frac{2b^3}{abc}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{y+z}{x}=\frac{2c^3}{abc}; \frac{x+z}{y}=\frac{2a^3}{abc}\)
Do đó:
\(Q=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}=3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}=3+\frac{2[(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3]}{abc}\)
\(=3+\frac{2[(-c)^3-3ab(-c)+c^3]}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+6=9\)
Ta có đpcm.
Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì \(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\)
\(VT=\frac{b-a+a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-b+b-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-c+c-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{-1}{a-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{-1}{b-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{-1}{c-b}+\frac{1}{c-a}\)
\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}=VP\)
Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau đôi một thì
b. \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)nếu \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}\)
\(=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 1 )
Tương tự,ta có:
\(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{c^2-ba+ba-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 2 )
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2-ac+cb-b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 3 )
Cộng vế theo vế của ( 1 );( 2 );( 3 ) suy ra đpcm
chứng minh rằng nếu a+b+c=0 thì :
\(A=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)\)