Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Duyên

chứng minh rằng nếu a+b+c=0 thì:

\(A=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)=9\)

 

Lê Chí Cường
1 tháng 5 2016 lúc 21:52

Đặt \(\frac{a-b}{c}=x,\frac{b-c}{a}=y,\frac{c-a}{b}=z\)

=>\(\frac{c}{a-b}=\frac{1}{x},\frac{a}{b-c}=\frac{1}{y},\frac{b}{c-a}=\frac{1}{z}\)

=>\(A=\left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

=>\(A=x.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+z.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

=>\(A=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1\)

=>\(A=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)

Ta thấy: \(\frac{y+z}{x}=\frac{\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}}{\frac{a-b}{c}}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right):\frac{a-b}{c}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right).\frac{c}{a-b}\)

\(=\left[\frac{\left(b-c\right).b}{a.b}+\frac{\left(c-a\right).a}{a.b}\right].\frac{c}{a-b}=\left(\frac{b^2-bc}{ab}+\frac{ac-a^2}{ab}\right).\frac{c}{a-b}\)

\(=\left(\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\right).\frac{c}{a-b}=\left[\frac{\left(ac-bc\right)-\left(a^2-b^2\right)}{ab}\right].\frac{c}{a-b}\)

\(=\left[\frac{c.\left(a-b\right)-\left(a+b\right).\left(a-b\right)}{ab}\right].\frac{c}{a-b}=\left[\frac{\left(c-a-b\right).\left(a-b\right)}{ab}\right].\frac{c}{a-b}\)

\(=\frac{c-a-b}{ab}.\left(a-b\right).\frac{c}{a-b}=\frac{c-a-b}{ab}.c=\left(c-a-b\right).\frac{c}{ab}=\left(2c-a-b-c\right).\frac{c}{ab}\)

Vì a+b+c=0=>2a-(a+b+c)=2c=>2c-a-b-c=2c

=>\(\frac{y+z}{x}=\left(2c-a-b-c\right).\frac{c}{ab}=2c.\frac{c}{ab}=\frac{2c^2}{ab}=\frac{2c^3}{abc}\)

=>\(\frac{y+z}{x}=\frac{2c^3}{abc}\)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(\frac{z+x}{y}=\frac{2a^3}{abc},\frac{x+y}{z}=\frac{2b^3}{abc}\)

=>\(A=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=3+\frac{2c^3}{abc}+\frac{2a^3}{abc}+\frac{2b^3}{abc}\)

=>\(A=3+\frac{2c^3+2a^3+2b^3}{abc}=3+\frac{2.\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\)

Lại có: 

Áp dụng bất đẳng thức, ta có: \(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=>a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2\)

=>\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2\)

\(=\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab.\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right).c+c^2\right]-3ab.\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right).c+c^2-3ab\right]\)

Vì a+b+c=0

=>\(\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right).c+c^2-3ab\right]=0\)

=>\(a^3+b^3+c^3-3abc=0=>a^3+b^3+c^3=3abc\)

Thay vào A, ta có:

\(A=3+\frac{2.\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+2.3=3+6=9\)

=>ĐPCM

Hà Thị Quỳnh
2 tháng 5 2016 lúc 12:09

Từ chỗ  lại có bạn làm hơi dài mình sẽ làm cách khác ngắn hơn 

Xét \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3\)

\(=\text{[}\left(a+b\right)^3+c^3\text{]}-3ab\left(a+b\right)\) (I)

Mà  \(\text{ }a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\) thay vào (I) , ta được 

\(a^3+b^3+c^3=\text{[}\left(-c\right)^3+c^3\text{]}-3ab\left(-c\right)\)

                             \(=3abc\)

Sau đó thay vào rồi tính


Các câu hỏi tương tự
Đào Huy Hoàng
Xem chi tiết
Bé con
Xem chi tiết
DanAlex
Xem chi tiết
Thanh Thủy Nguyễn
Xem chi tiết
Mai Thanh Hoàng
Xem chi tiết
Trần Lê Anh Quân
Xem chi tiết
đoàn danh dũng
Xem chi tiết
không cần biết
Xem chi tiết
Lữ Hùng Hổ
Xem chi tiết