Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
tran thi mai anh

Chứng minh rằng :Nếu a+b+c=0 thì

Q=\(\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)\)=9

Akai Haruma
20 tháng 3 2019 lúc 14:06

Lời giải:

Đặt \((\frac{a-b}{c}, \frac{b-c}{a}, \frac{c-a}{b})=(x,y,z)\)

Khi đó:
\(Q=(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)

Ta có:

\(x+y=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}=\frac{a^2-ab+bc-c^2}{ac}=\frac{b(c-a)-(c-a)(c+a)}{ca}\)

\(=\frac{b(c-a)-(c-a)(-b)}{ac}=\frac{2b(c-a)}{ca}\) (do $a+b+c=0$)

\(\Rightarrow \frac{x+y}{z}=\frac{2b(c-a)}{ca}.\frac{b}{c-a}=\frac{2b^2}{ca}=\frac{2b^3}{abc}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{y+z}{x}=\frac{2c^3}{abc}; \frac{x+z}{y}=\frac{2a^3}{abc}\)

Do đó:

\(Q=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}=3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}=3+\frac{2[(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3]}{abc}\)

\(=3+\frac{2[(-c)^3-3ab(-c)+c^3]}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+6=9\)

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Thỏ bông
Xem chi tiết
Mai Kim
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
DRACULA
Xem chi tiết
Tranh Diệp Phi
Xem chi tiết
Hoàng Diệu Anh
Xem chi tiết
 nguyễn hà
Xem chi tiết