cho (O:R) và dây cung MN không qua tâm.Từ E bất kì trên tia đối của MN kẻ tiếp tuyến EF với đường tròn(F thuộc O) ,Fvà O nằm cùng phía với MN.Gọi I là trung điểm của MN ,tia FI cắt đường tròn tại K,vẽ KP//MN(P thuốc đường tròn tâm O).a)chứng minh tứ giác EFOI nội tiếp.b)chứng minh EF^2-EM^2=EM.MN.c)chứng minh EP là tiếp tuyến (O:R)
Cho hai đường tròn tâm O bán bán kính R và tâm O' bán kính R' cắt nhau tại A và B. Từ điểm C trên tia đối của tia AB kẻ các tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). AD và AE cắt đường trong tâm O' lần nữa lần lượt tại M và N. DE cắt MN tại I.
a) Chứng minh tứ giác MIBD nội tiếp.
b) Chứng minh I là trung điểm của MN.
cho đường tròn (o,r) có dây B,C ko đi qua tâm. từ điểm A thuộc tia đối của tia BC, vẽ các tiếp tuyến AE, AF của đường tròn O với E,F là các tiếp điểm. gọi I là trung điểm của BC, D là giao điểm thứ 2 của FI và (O), H là giao điểm của EF và AC. chứng minh:
a) ED//AC
b) AH.AI = AB.AC
giúp mình câu b thôi 
b: Xet ΔAEH và ΔACE có
góc AEH=góc ACE
góc EAH chung
=>ΔAEH đòng dạng vói ΔACE
=>AE^2=AH*AC
Xét ΔAEB và ΔACE có
góc AEB=góc ACE
góc EAB chung
=>ΔAEB đồng dạng với ΔACE
=>AE^2=AB*AC
Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.
2) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh 2 A K = 1 A B + 1 A C .
2 A K = 1 A B + 1 A C ⇔ 2 A B . A C = A K ( A B + A C ) ⇔ A B . A C = A K . A I
(Do AB+ AC = 2AI)
∆ABN đồng dạng với ∆ANC => AB.AC = AN2
∆AHK đồng dạng với ∆AIO => AK.AI = AH.AO
Tam giác ∆AMO vuông tại M có đường cao MH => AH.AO = AM2
=> AK.AI = AM2 . Do AN = AM => AB.AC = AK.AI
cho đường tròn tâm O có AB là dây cung cố định không đi qua tâm O. Từ M bất kì trên cung lớn AB kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MN là đường cao của tâm giác AMN ( Q thuộc AN) a. Chứng minh AMHQ nội tiếp b. Gọi I là giao điểm của AB và MQ. Chứng minh tam giác BQM cân c. Kẻ MP vuông góc BN tại P. Xác định vị trí M sao cho MQ. AN+ MP. BN đạt giá trị max
Cho đường tròn (O,R) dây cung MN (MN<2R) .Trên tia dối của tia MN lấy điểm A. từ A kẻ tiếp tuyến AAB<AC tới đường tròn O.
c) GỌi I là trung điểm của MN. Kẻ BI cắt dường tròn tại E. Cm EC//với AN.
(gợi ý:Nên Cm tứ giác OBAC nội tiếp và Cm AB2 =AC2 =AM.AN để cm câu c)
góc CEB=góc ACB(=1/2*sđ cung BC)
I là trung điểm của MN nên OI vuông góc MN
=>góc OIM=góc OIA=90 độ
góc OCA+góc OIA=180 độ
=>ACOI nội tiếp
mà ACOB nội tiếp
nên A,B,I,O,C cùng thuộc 1 đường tròn
=>góc AIB=góc ACB=góc EIN
=>góc CEB=góc EIN
=>MN//EC
=>AN//EC
Cho đường tròn (O,R) dây cung MN (MN<2R) .Trên tia dối của tia MN lấy điểm A. từ A kẻ tiếp tuyến AAB<AC tới đường tròn O.
a) Cm A,B,C,D cùng thuộc 1 đường trong. CHỈ rõ tâm O' và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
b) Cm AB2 =AC2 =AM.AN
c) GỌi I là trung điểm của MN. Kẻ BI cắt dường tròn tại E. Cm EC song song với AN
a) Sửa đề: A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn
Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{ACO}\) là hai góc đối
\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
hay A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn(đpcm)
⇔A,B,O,C∈(O')
Ta có: ΔABO vuông tại B(AB⊥OB tại B)
nên B nằm trên đường tròn đường kính AO(Định lí tam giác vuông)(1)
Ta có: ΔACO vuông tại C(OC⊥AC tại C)
nên C nằm trên đường tròn đường kính AO(Định lí tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO
⇔B,C,A,O cùng nằm trên đường tròn đường kính AO
mà B,C,A,O∈(O')(cmt)
nên O' là tâm của đường tròn đường kính AO
hay O' là trung điểm của AO
⇔Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC là OB
b) Xét (O) có
\(\widehat{ACM}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung MC
\(\widehat{MNC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{MC}\)
Do đó: \(\widehat{ACM}=\widehat{MNC}\)(Hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
hay \(\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\)
Xét ΔAMC và ΔACN có
\(\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\)(cmt)
\(\widehat{MAC}\) chung
Do đó: ΔAMC∼ΔACN(g-g)
⇔\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AC}{AN}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AC^2=AM\cdot AN\)(3)
Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: \(AB^2=AC^2\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AB^2=AC^2=AM\cdot AN\)(đpcm)
Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C (d không đi qua O). Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A nằm ngoài đường tròn tâm O). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H, và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I nằm trên cùng một đường tròn và AK. AI=AM2
b) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD, cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
GIÚP MK VỚI QAQ
1. Từ A ngoài đường tròn tâm O. Kẻ 2 tia tiếp tuyến AM , AN. Biết góc MAN = a độ ( không đổi ). Từ I bất kì trên cung nhỏ MN, vẽ tiếp tuyến cắt AM , AN tại B và C. OB và OC cắt đường tròn O tại D và E. CM : Cung DE không đổi khi I chạy trên cung MN
2. Cho đường tròn O và O' cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn O tại C, cắt đường tròn O' tại D. Tia CB cắt đường tròn O' tại F , tia DB cắt đường tròn O tại E. CM : AB là tia phân giác góc EAF
3. Cho tam giác ABC nhọn. Điểm I bất kì trong tam giác. Kẻ IH vuông góc AB , IK vuông góc AC , IL vuông góc AB. Tìm vị trí điểm I sao cho : AL^2 + BH^2 + CK^2 đạt gtnn
