Gọi tập các số nguyên tố đã biết là P={p1, p2, …., pn} 
Xét số A= p1*p2*….*pn + 1 
Dễ thấy: A không hề chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào đã biết (tức thuộc P) (1). 
Nhưng A luôn có thể phân tích thành các thừa số nguyên tố => A chia hết cho 1 số nguyên tố p nào đó. 
Từ (1) suy ra p ko thuộc P. 
Vậy luôn tồn tại 1 số nguyên tố ngoài những số đã biết. Tức có vô số số nguyên tố 

Chú ý: Công thức của A không phải là công thức tạo 1 số nguyên tố. Vì: 

_Nếu p1, p2,…, pn khác 2thì p1, p2,… pn lẻ. 
Suy ra A = p1*p2*…*pn +1 chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. A>2 suy ra A không phải là số nguyên tố. 

_Nếu p1, p2,…, pn có 1 số =2: 
Ví dụ: A = 2*7 +1 =15: không là số nguyên tố.

Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p₁ , p₂ ....., p_n trong đó p_n là số lớn nhất trong các số nguyên tố.

Xét số A = p₁p₂ .... p_n thì A chia cho mỗi số nguyên tố p₁ ( 1 < i < n ) đều dư 1   ( 1 )

Mặt khác A là hợp số ( vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p_n ) do đó A phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, tức là A chia hết cho một trong các số p₁ ) 1 < i < n ) ( 2 ), mâu thuẫn với ( 1 ).

Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố ( đpcm )

Qua sự phân bố các nguyên tố, nhà toán học Pháp Bec - tơ - răng đưa ra dư đoán : Nếu n > 1 thì giữa n và 2n có ít nhất một số nguyên tố. Năm 1852, nhà toán học Nga Trê - bư - sếp đã chứng minh được mệnh đề này. Ông còn chứng minh được :

Nếu n > 3 thì giữa n và 2n - 2 có ít nhất một số nguyên tố. Ta cũng có mệnh đề sau : Nếu n > 5 thì giữa n và 2n có ít nhất hai số nguyên tố.

Cảm ơn 2 bạn nhiều nhé ! 

Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p₁, p₂, ..., p_n trong đó p_n là số lớn nhất trong các số nguyên tố.

Xét số A = p₁p₂ ... p_n +1 thì A chia cho mỗi số nguyên tố p_k (1=<k=<n) đều dư 1 (1).

Mặt khác A là hợp số ( vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p_n) do đó A phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, tức là A chia hết cho một trong các số p_k, mâu thuẫn với (1).

Vậy không có hữu hạn số nguyên tố.

Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p₁, p₂, ..., p_n trong đó p_n là số lớn nhất trong các số nguyên tố.

Xét số A = p₁p₂ ... p_n +1 thì A chia cho mỗi số nguyên tố p_k (1=<k=<n) đều dư 1 (1).

Mặt khác A là hợp số ( vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p_n) do đó A phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, tức là A chia hết cho một trong các số p_k, mâu thuẫn với (1).

Vậy không có hữu hạn số nguyên tố.

Giả sử số số nguyên tố là hữu hạn thì ta xét số A bằng tích của tất cả các số nguyên tố đó cộng 1. Rõ ràng A nằm ngoài tập hợp các số nguyên tố (vì lớn hơn tất cả các số nguyên tố) nên nó không phải là số nguyên tố. Gọi B là ước số nhỏ nhất của A. Đến lượt B cũng không phải là số nguyên tố vì ta có thể thấy A không chia hết cho số nguyên tố nào (trong tập hợp hữu hạn các số nguyên tố, như đã giả thiết). Vậy B phải chia hết cho một số C. Số C này, dĩ nhiên là ước số của A, và nhỏ hơn B, mâu thuẫn. Tóm lại số số nguyên tố phải là vô hạn.

Bấm mình nha bạn....

c1:Giả sử số số nguyên tố là hữu hạn thì ta xét số A bằng tích của tất cả các số nguyên tố đó cộng 1. Rõ ràng A nằm ngoài tập hợp các số nguyên tố (vì lớn hơn tất cả các số nguyên tố) nên nó không phải là số nguyên tố. Gọi B là ước số nhỏ nhất của A. Đến lượt B cũng không phải là số nguyên tố vì ta có thể thấy A không chia hết cho số nguyên tố nào (trong tập hợp hữu hạn các số nguyên tố, như đã giả thiết). Vậy B phải chia hết cho một số C. Số C này, dĩ nhiên là ước số của A, và nhỏ hơn B, mâu thuẫn. Tóm lại số số nguyên tố phải là vô hạn.
c2:đầu tiên chứng minh định lý sau:
-ước số tụ nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố
giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1.Gọi p là ước số tự nhiên khác 1 của a, nếu a không là số nguyên tố thì vì p>1 nên nó phải là hợp số nghĩa là nó phải có một ước số p1, sao cho 1<p1<p.Nhưng khi đó p1 cũng là một ước số của a điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng p là ước số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của a.Vậy p phải là số nguyên tố
- bây giờ là phần chứng minh định lý có vô số số nguyên tố:
- giả sử tập hợp số nguyên tố T là hữu hạn và gồm các phần tử: p1,p2,p3,p4............pm ta lập tích của chúng và cộng 1 để được
- n=(p1.p2.p3.p4.........pm)+1
theo định lý trên(ước số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của n là một số nguyên tố p). p không thể là một trong các số p1,p2,p3,p4..........pm được vì n không chia hết cho các số đó.Vậy p phải nằm ngoài tập hợp T ,trái với giả thiết T gồm tất cả các số nguyên tố . vậy T không thể hữu hạn do đó nó vô hạn

Nếu giải thích như Đinh Tuấn Việt thì ai chả giải thích được.

Giả sử có hữu hạn số nguyên tố là a1,a2,a3,...,an trong đó an là số nguyên tố lớn nhất trong tất cả các số nguyên tố. 
Xét số A= a1.a2.a3....an chia hết cho mỗi số nguyên tố ap (với 1<=p<=n) 
=> số A+1 chia cho mỗi số ap đều dư 1.(1) 
Lại có A+1 > an => A+1 là hợp số =>A+1 chia hết cho 1 trong các số nguyên tố ap,mâu thuẫn với (1). 
=> điều giả sử là sai=> có vô số số nguyên tố

Giả sử có hữu hạn số nguyên tố là a1,a2,a3,...,an trong đó an là số nguyên tố lớn nhất trong tất cả các số nguyên tố. 
Xét số A= a1.a2.a3....an chia hết cho mỗi số nguyên tố ap (với 1<=p<=n) 
=> số A+1 chia cho mỗi số ap đều dư 1.(1) 
Lại có A+1 > an => A+1 là hợp số =>A+1 chia hết cho 1 trong các số nguyên tố ap,mâu thuẫn với (1). 
=> điều giả sử là sai=> có vô số số nguyên tố

Lê Chí Cường copy ở Wki chứ gì ! Bảo giải thích theo cách lớp 6 cơ mà !

pn đọc cái định nghĩa này rồi dựa vào mà lm đi nhé 

ĐN: Số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.

Giải : Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p₁ , p₂ , ... , p_n trong đó p_n là số lớn nhất trong các số nguyên tố .

Xét số A = p₁p₂ ... p_n + 1 thì A chia cho mỗi số nguyên tố p_i ( 1 \(\le\)i \(\le\)n ) đều dư 1 (1).

Mặt khác A là hợp số ( vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p_n ) do đó A phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó , tức là A chia hết cho một trong các số p_i ( 1 \(\le\)i \(\le\)n ) , mâu thuẫn với (1).

Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố

=> ( đpcm ).

mình giải rồi không thấy ý kiến gì?

1. Nhận xét rằng a là số tự nhiên lẻ và ab + 4 là một số chẵn.
Nếu d là một ước chung của a và ab + 4 ( d > 1), thì do a lẻ nên d phải là số lẻ.
Do ab chia hết cho d nên 4 chia hết cho d, suy ra d  \(\in\) { 2; 4 }.  (mâu thuẫn)..
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của n + 2 và 3n + 11.
Suy ra \(\hept{\begin{cases}n+2⋮d\\3n+11⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+6⋮d\\3n+11⋮d\end{cases}}}\).
Suy ra \(3n+11-\left(3n+6\right)=5⋮d\). 
Vì vậy d  = 1 hoặc d = 5.
Để n + 2 và 3n + 11 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d = 1.
Nếu giả sử ngược lại \(\hept{\begin{cases}n+2⋮5\\3n+11⋮5\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow n+2⋮5\).
Suy ra \(n\) chia 5 dư 3 hay n = 5k + 3.
Vậy để n + 2 và 3n + 11 là hai số nguyên tố cùng nhau, thì n chia cho 5 dư 0, 1, 2, 4 hay n = 5k, n = 5k +1, n = 5k + 2, n = 5k + 4.

 

Số các số hạng của S là: \(\frac{\left(2n-1-1\right)}{2}+1=n-1+1=n\).
S = 1 + 3 + 5 + ........ (2n - 1)
\(=\frac{\left(2n-1+1\right).n}{2}=n.n=n^2\).
Suy ra S là một số chính phương.