Question

Chứng minh rằng không thể có hữu hạn số nguyên tố.

Answer 1

Gọi tập các số nguyên tố đã biết là P={p1, p2, …., pn} 
Xét số A= p1*p2*….*pn + 1 
Dễ thấy: A không hề chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào đã biết (tức thuộc P) (1). 
Nhưng A luôn có thể phân tích thành các thừa số nguyên tố => A chia hết cho 1 số nguyên tố p nào đó. 
Từ (1) suy ra p ko thuộc P. 
Vậy luôn tồn tại 1 số nguyên tố ngoài những số đã biết. Tức có vô số số nguyên tố 

Chú ý: Công thức của A không phải là công thức tạo 1 số nguyên tố. Vì: 

_Nếu p1, p2,…, pn khác 2thì p1, p2,… pn lẻ. 
Suy ra A = p1*p2*…*pn +1 chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. A>2 suy ra A không phải là số nguyên tố. 

_Nếu p1, p2,…, pn có 1 số =2: 
Ví dụ: A = 2*7 +1 =15: không là số nguyên tố.

Answer 2

Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p₁ , p₂ ....., p_n trong đó p_n là số lớn nhất trong các số nguyên tố.

Xét số A = p₁p₂ .... p_n thì A chia cho mỗi số nguyên tố p₁ ( 1 < i < n ) đều dư 1   ( 1 )

Mặt khác A là hợp số ( vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p_n ) do đó A phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, tức là A chia hết cho một trong các số p₁ ) 1 < i < n ) ( 2 ), mâu thuẫn với ( 1 ).

Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố ( đpcm )

Qua sự phân bố các nguyên tố, nhà toán học Pháp Bec - tơ - răng đưa ra dư đoán : Nếu n > 1 thì giữa n và 2n có ít nhất một số nguyên tố. Năm 1852, nhà toán học Nga Trê - bư - sếp đã chứng minh được mệnh đề này. Ông còn chứng minh được :

Nếu n > 3 thì giữa n và 2n - 2 có ít nhất một số nguyên tố. Ta cũng có mệnh đề sau : Nếu n > 5 thì giữa n và 2n có ít nhất hai số nguyên tố.

Answer 3

Cảm ơn 2 bạn nhiều nhé ! 

Answer 4

Gọi tập các số nguyên tố đã biết là P = { p1, p2, ..., pn } 
Xét số A = p1 * p2 * ... * pn + 1
Dễ thấy: A không hề chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào đã biết ( tức thuộc P ) (1)
Nhưng A luôn có thể phân tích thành các thừa số nguyên tố p nào đó
Từ (1) suy ra p không thuộc P
Vậy luôn tồn tại 1 số nguyên tố ngoài những số đã biết
Tức có vô số số nguyên tố

Chú ý: Công thức của A không phải là công thức tạo một số nguyên tố. Vì:

- Nếu p1, p2, ..., pn khác 2 thì p1, p2, ..., pn lẻ.
Suy ra A = p1 * p2 * ... * pn + 1 chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. A > 2 suy ra A không phải là số nguyên tố.

- Nếu p1, p2, ..., pn có 1 số = 2.
Ví dụ: A = 2 * 7 + 1 = 15; không là số nguyên tố

Answer 5

Giả sử có hữu hạn số nguyên tố ,  do đó ta có thể sắp xếp n số nguyên tố này thành dãy tăng dần : \(1< p_1< p_2< p_3< ...< p_n\) (p là số nguyên tố)

Xét số \(p=p_1p_2p_3...p_n+1\) thì \(p>p_i,i=1,2,...,n\) do đó p không phải là số nguyên tố nên p là bội số của số nguyên tố p_k nào đó.

Mà \(1=p-p_1p_2...p_k\) nên 1 là bội của p_k => p_k = 1 vô lí

Vậy có vô hạn số nguyên tố