Vì a, b >0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô - si , ta có

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)

Mad a,b >0 \(\Rightarrow\frac{1}{a},\frac{1}{b}\)cũng lớn hơn 0 , áp dụng Cô - si ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có :

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.\frac{2}{\sqrt{ab}}\)=\(4\)

Vậy \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\left(đpcm\right)\)

Cứ có bài toán nào đề bài cho là lớn hơn 0 thì cậu nghĩ ngay tới cô si nhé

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có 

a²+ b² \(\ge\)2ab 

\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{ab}\ge\frac{4ab}{ab}\)\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{ab}\ge4\)\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{a+b}{ab}\right)\ge4\)

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)   ( ĐPCM)

2.

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )

Tương tự.......................

1. Xét hiệu : \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\)

Lại có: b - a < 0 ( a > b)

ab >0 ( a>0, b > 0)

\(\Rightarrow\dfrac{b-a}{ab}< 0\)

Vậy: \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)

2. Xét hiệu : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}-2ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)

Vậy : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b

3. Xét hiệu : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)

Vậy : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b

1. Do \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\)a<b \(\Leftrightarrow\)a+n<b+n

Ta có: \(\frac{a}{b}\)= 1 - \(\frac{a-b}{b}\)

          \(\frac{a+n}{b+n}\)= 1- \(\frac{a-b}{b+n}\)

Do \(\frac{a-b}{b}\)>\(\frac{a-b}{b+n}\)=> \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+n}{b+n}\)

2.Tương tự

ko hiểu

Ta có: a - b 2   ≥ 0

      ⇔ a 2  + b 2  – 2ab  ≥  0

      ⇔  a 2 +  b 2 – 2ab + 2ab  ≥  2ab

      ⇔  a 2  +  b 2   ≥  2ab

Vì a  ≥  0, b  ≥  0 nên ab  ≥  0 ⇒ 1/ab ≥ 0

       ( a 2  +  b 2 ).1/ab  ≥  2ab.1/ab

       ⇔ a/b + b/a  ≥  2

       ⇔ 2 + a/b + b/a  ≥ 2 + 2

       ⇔ 2 + a/b + b/a  ≥  4

       ⇔ 1 + 1 + a/b + b/a  ≥  4

      ⇔ a/a + b/b + a/b + b/a  ≥  4

      ⇔ a(1/a + 1/b ) + b(1/a + 1/b )  ≥  4

      ⇔ (a + b)(1/a + 1/b )  ≥  4

a) \(b>0,d>0\) nên \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ab+ad< bc+ab\\cd+ad< bc+cd\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\\d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\\\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\end{cases}}\)----> ĐPCM

b) \(\frac{1}{3}=\frac{4}{12},\frac{1}{4}=\frac{4}{16}\)Vậy 3 số hữu tỉ cần tìm là \(\frac{4}{13},\frac{4}{14},\frac{4}{15}\)

Ta có: 

Ta có: a/b > 1 nên a > b suy ra am > bm, suy ra ab + am > ab + bm.

Do đó 

Hay