P=x/x+1 + y/y+1 + z/z+1=x+1-1/x+1 + y+1-1/y+1 + z+1-1/z+1

=1 - 1/x+1 + 1 - 1/y+1 + 1 - 1/z+1

=3 - (1/x+1 + 1/y+1 + 1/z+1)

Áp dụng bđt cauchy- schwarz dạng engel:

1/x+1 + 1/y+1 + 1/z+1 = 1²/x+1 + 1²/y+1 + 1²/z+1 >/ (1+1+1)²/x+1+y+1+z+1 >/ 9/4 (do x+y+z=1)

=> P </ 3 - 9/4 = 3/4 

maxP=3/4 

\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)

\(P=\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(x\le y\le z\).

Khi đó \(x\le0;z\ge0\).

+) Nếu \(y\geq 0\) thì \(P=z-x+y=z-x-x-z=-2x\le2\).

+) Nếu \(y< 0\) thì \(P=z-x-y=z-x+z+x=2z\le2\).

Tóm lại \(P\le2\). Đẳng thức xảy ra khi, chẳng hạn x = -1; y = 0; z = 1.

Vậy Max P = 2 khi x = -1; y = 0; z = 1.

 P = x(x/2+1/yz) + y(y/2+1/zx) + z(z/2+1/xy) 

= ½ [x(xyz +2)/(yz) + y(xyz +2)/(xz) + z(xyz +2)/(xy)]

= ½ (xyz +2)[x/(yz) + y/(xz) + z/(xy)] ≥ ½ (xyz +2).3 /³√(xyz)

Lại có: xyz + 2 = xyz + 1 +1 ≥ 3 ³√(xyz) 

Suy ra: 

P = ½ (xyz +2)[x/(yz) + y/(xz) + z/(xy)] ≥ ½ (xyz +2).3 /³√(xyz) 

≥ 3/2 .3 ³√(xyz)/ ³√(xyz) = 9/2 

Vậy P min = 9/2 

Dấu = xra khi x = y = z = 1 

Bài 1: 
Ta có 
A =x/(x+1) +y/(y+1)+z/(z+1) 
A= 1- 1/(x+1)+1-1/(y+1) +1-1/(z+1) 
A=3- [1/(x+1)+1/(y+1) +1/(z+1) ] 
B = 1/(x+1)+1/(y+1) +1/(z+1) 
Đặt x+1=a; y+1=b;z+1 =c 
=>a+b+c=4 
4B=4(1/a+1/b+1/c) 
B= (a+b+c) (1/a+1/b+1/c) 
4B =3+(a/b+b/a) +(a/c+c/a)+(b/c+c/a) 

Từ (a-b)^2 ≥ 0 =>a^2+b^2 ≥ 2ab chia 2 vế cho ab 
=> a/b+b/a ≥2 dấu "=" khi a=b 
Tương tự có 
a/c+c/a ≥2 ;b/c+c/b ≥2 
=>4B ≥3+2+2+2=9 
=>B ≥ 9/4 
=>A ≤ 3-9/4 = 3/4 
Vậy max A =3/4 khi a=b=c 
=>x=y=z =1/3 

Bài 2:

Giúp tui nha