a) Xét đường tròn (O; R) có I là trung điểm của dây AB

=> OI ⊥ AB (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

=> ΔMIO vuông tại I => I, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

ΔMCO vuông tại C => C, M, O cùng thuộc đương tròn đường kính OM

ΔMDO vuông tại D => D, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

=> I, M, O, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b) Xét ΔKOD và ΔKMI có: \(\widehat{KDO}=\widehat{KIM}\) (=90^o)

                                           \(\widehat{OKM}\) chung

=> ΔKOD ~ ΔKMI (g.g) => \(\dfrac{KO}{KM}=\dfrac{KD}{KI}\) => KO.KI = KD.KM

c) Xét đường tròn (O; R), tiếp tuyến MC, MD => MO là phân giác \(\widehat{CMD}\); MD = MC

Lại có OC = OD = R => OM là trung trực của CD hay OM ⊥ CD.

Mà CD // EF => OM ⊥ EF. Lại có MO là phân giác \(\widehat{CMD}\) 

=> \(\widehat{CMO}=\widehat{DMO}\) => ΔEMO = ΔFMO (g.c.g)

=> S_EMO = S_FMO =\(\dfrac{1}{2}\)S_EMF

Để S_EMF nhỏ nhất thì S_EMO nhỏ nhất

=> \(\dfrac{1}{2}\)EM.OC = \(\dfrac{1}{2}\).R.EM nhỏ nhất => EM nhỏ nhất (do R cố định)

Ta có: EM = EC + CM ≥ 2\(\sqrt{EC.CM}\)=2R (BĐT Cô-si)

Dấu "=" xảy ra ⇔ EC = CM => OC = CE = CM (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông) => ΔCMO vuông cân tại C => OM = OC\(\sqrt{2}\) =R\(\sqrt{2}\)

Vậy để S_EMF nhỏ nhất thì M là giao điểm của (d) và (O; R\(\sqrt{2}\))

a: Xét tứ giác OMAN có 

\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=180^0\)

Do đó: OMAN là tứ giác nội tiếp

hay O,M,A,N cùng thuộc một đường tròn(1)

Xét tứ giác OHAN có

\(\widehat{OHA}+\widehat{ONA}=180^0\)

Do đó: OHAN là tứ giác nội tiếp

hay O,H,A,N cùng thuộc một đường tròn(2)

Từ (1) và (2) suy ra O,H,M,A,N cùng thuộc một đường tròn

hay AMHN là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔANB và ΔACN có 

\(\widehat{CAN}\) chung

\(\widehat{ANB}=\widehat{ACN}\)

Do đó:ΔANB∼ΔACN

Suy ra: AN/AC=AB/AN

hay AN²=ABxAC

a: OH*OA=OB^2=R^2

b: ΔOCD cân tại O

mà OM là trung tuyến

nên OM vuông góc với CD

Xét tứ giác OMBA có

góc OMA=góc OBA=90 độ

nên OMBA là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔOHE vuông tại H và ΔOMA vuông tại M có

góc MOA chung

Do đó: ΔOHE đồng dạng với ΔOMA

=>OH/OM=OE/OA

=>OM*OE=OH*OA=R^2=OC^2=OD^2

=>ΔODE vuông tại D

=>DE là tiếp tuyến của (O)