c: Ta có: \(a\left(a+2b\right)^3-b\left(2a+b\right)^3\)

\(=a^4+6a^3b+12a^2b^2+8ab^3-8a^3b-12a^2b^2-6ab^3-b^4\)

\(=a^4-2a^3b+2ab^3-b^4\)

\(=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)-2ab\left(a^2-b^2\right)\)

\(=\left(a-b\right)^3\cdot\left(a+b\right)\)

Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)

Ta có

$$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0,$$

hay $$\dfrac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2 +(c-a)^2\right[ = 0.$$

Mà vế trái luôn không âm \(\forall a,b,c \in \mathbb{R}\), đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Vậy ta có điều cần chứng minh.

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

a²+b²>=2ab

b²+c²>=2bc

c²+a²>=-2ac

Cộng 2 vế với nhau:

a²+b²+c²>= ab+bb-ca

Vì ab + bc + ca = 1 nên

a 2 + 1 = a 2 + ab + bc + ca = a(a + b) + c(a + b) = (a + c)(a + b)

b 2 + 1 = b 2 + ab + bc + ca = b(a + b) + c(a + b) = (b + c)(a + b)

c 2 + 1 = c 2 + ab + bc + ca = ( c 2 + bc) + (ab + ac)

= c(c + b) + a(b + c) = (a + c)(b + c)

Từ đó suy ra ( a 2   +   1 ) ( b 2   +   1 ) ( c 2   +   1 )

= (a + c)(a + b).(b + c)(a + b).(a + c)(b + c)

=   ( a   +   c ) 2 ( a   +   b ) 2 ( b   +   c ) 2

Vậy ( a 2   +   1 ) ( b 2   +   1 ) ( c 2   +   1 )   =   ( a   +   c ) 2 ( a   +   b ) 2 ( b   +   c ) 2

Đáp án cần chọn là: D