x+y=a+b => (x+y)² =(a+b)² => x² +2xy+ y² =a² +2ab+b² => xy=ab 

ta sẽ chứng mính bằng phương pháp quy nạp.

Với n =1, n=2 thì đẳng thức đúng

Giả sử  x^n-1 +y^n-1 = a^n-1 +b^n-1; xⁿ +yⁿ = aⁿ +bⁿ , ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với n+1

\(x^{n+1}+y^{n+1}=\left(x^n+y^n\right)\left(x+y\right)-xy\left(x^{n-1}+y^{n-1}\right)=\left(a^n+b^n\right)\left(a+b\right)-\)ab(a^n-1 +b^n-1 ) = aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ (đúng)

vậy đẳng thức đúng với mọi n

+) Ta có : \(x^2+y^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\) ( * ) 

+) Ta có : \(x+y=a+b\)

\(\Leftrightarrow x-a=b-y\)

Thay \(x-a=b-y\) vào ( * ) ta được : 

\(\left(b-y\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left(x+a\right)-\left(b-y\right)\left(b+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left[\left(x+a\right)-\left(b+y\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left(x+a-b-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b-y=0\\x+a-b-y=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=y\\x+a=b+y\end{cases}}\)

TH1 :\(b=y\)

\(\Rightarrow b-y=0\)

​​​\(\Rightarrow x-a=0\)​

\(\Rightarrow x=a\)

\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\) ( 1 ) 

TH2 : \(x+a=b+y\)

Mà \(x-a=b-y\)

\(\Rightarrow x+a+x-a=b+y+b-y\)

\(\Rightarrow2x=2b\)

\(\Rightarrow x=b\)

\(\Rightarrow a=y\)

\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\) ( 2 ) 

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) 

\(\Rightarrow\) đpcm 

Ta có :

\(x^2+y^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)

Mà \(x+y=a+b\)

\(\Leftrightarrow x-a=b-y\)

+ Nếu \(x-a=b-y=0\Leftrightarrow x=a;b=y\)      (1)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)

\(\Leftrightarrow0=0\left(TM\right)\)

+ Nếu \(x-a=b-y\ne0\Leftrightarrow x+a=b+y\)

\(\Leftrightarrow x-y=b-a\)

Lại có : \(x+y=a+b\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=2b\\-2y=-2a\end{cases}}\)Cái trên là cộng vế với vế 2 ptr, cái dưới là trừ vế cho vế của 2 ptr nhé )

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=b\\y=a\end{cases}}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow x=a;y=b\)hoặc \(x=b;y=a\)

\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\)(đpcm)

1. ta có:  (a-b) + (b-a) = a-b+b-a = 0
Vậy (a-b) và (b-a) là hai số đối nhau
2.
a, (x-y) + (m-n) = x-y +m - n = x + m - y - n = (x+m) - (y+n)
b, (x-y) - (m-n) = x-y -m +n = x+n -y -m = (x+n) -(y+m)

A + B = a - b + b - a

A + B= a + (-b) + b + (-a)

A + B= a + (-a) + b + (-b)

A + B = 0 

Vì A + B = 0 mà hai số đối có tổng = 0 nên a - b và b - a là hai số đối nhau.

= x - y + m - n

= x + (-y) + m + (-n)

= (x + m) + (-y) + (-n)

= (x + m) +[- (y + n)]

= (x + m) - (y + n)

= x - y - m + n

= x + (-y) + (-m) + n

= (x + n) + (-y) + (-m)

= (x + n) + [- (y + m)]

= (x + n) - (y + m)

A + B = a - b + b - a 

A + B= a + (-b) + b + (-a) 

A + B= a + (-a) + b + (-b) 

A + B = 0 

Vì A + B = 0 mà hai số đối có tổng = 0 nên a - b và b - a là hai số đối nhau.

= x - y + m - n

= x + (-y) + m + (-n)

= (x + m) + (-y) + (-n)

= (x + m) +[- (y + n)]

= (x + m) - (y + n)

= x - y - m + n

= x + (-y) + (-m) + n

= (x + n) + (-y) + (-m)

= (x + n) + [- (y + m)]

= (x + n) - (y + m)

các bạn giúp mình nhé !!!

A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4

A=(x+y)(x+4y).(x+2y)(x+3y)+y4

A=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4

A=(x2+5xy+ 5y2 - y2 )(x2+5xy+5y2+y2)+y4

A=(x2+5xy+5y2)2-y4+y4

A=(x2+5xy+5y2)2

Do x,y,Z nen x2+5xy+5y2 Z

​A là số chính phương 

a) Ta có: A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y⁴

                = (x² + 5xy + 4y²)( x² + 5xy + 6y²) + y² 
Đặt x² + 5xy + 5y² = h ( h
thuộc Z):
A = ( h - y²)( h + y²) + y² = h² – y² + y² = h² = (x² + 5xy + 5y²)²
Vì x, y, z
thuộc Z nên x² thuộc 
Z, 5xy
thuộc Z, 5y² thuộc
Z . Suy ra x² + 5xy + 5y² thuộc 
Z
Vậy A là số chính phương.

1.a) (x+2)²-2(x+2)(x-8)+(x-8)²=[ (x+2)-(x-8) ]²=(x+2-x+8)²=10²=100

b) (x+y-z-t)²-(z+t-x-y)²=(x+y-z-t+z+t-x-y)(x+y-z-t-z-t+x+y)

=0.-2(z+t-x-y)=0

2. n³-n=n(n²-1)=n(n-1)(n+1)

Ta n(n-1)(n+1) là tích ba số nguyên tự nhiên

=>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 và 3

=>n(n-1)(n+1) chia hết cho 6