1: \(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;4;2;-2;-1;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow3n\in\left\{0;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;1;-1\right\}\)

Câu 1: 

(Đk n € Z) Ta có :n^3+11n=n^3-n+12n=n(n^2-1)+12n=(n-1)n(n... 
vì n là số nguyên nên (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên phải chia hết cho 6;mà 12 lại chia hết cho 6 =>12n cũng chia hết cho 6. 
Vậy (n-1)n(n+1)+12n chia hết cho 6 => n^3+11n chia hết cho 6 (đpcm) 

Câu 2: Gọi biểu thức trên là a ta có:

 A=mn(m²-n²) 
   = mn(m² - 1 - n² + 1) 
   = mn [(m-1)(m+1) - (n-1)(n+1)] 
   = n(m-1)m(m+1) - m(n-1)n(n+1) 
{n(m-1)m(m+1) chia hết cho 3  (tính 3 số tự nhiên liên tiếp) 
{m(n-1)n(n+1) chia hết cho 3    (tính 3 số tự nhiên liên tiếp) 
=> n(m-1)m(m+1) - m(n-1)n(n+1) chia hết cho 3 
=> A chia hết cho 3 

Câu 3:

 n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n+2+n-1)=n(n+1)(n+2)+(n-1)(n+1)n 
ba số liên tiếp thì chia hết cho 2 ; chia hết cho 3 --> tổng trên chia hết cho 6

Vậy n(n+1)(2n+1) chia hết cho 6

Câu 4: Gọi biểu thức trên là B ta có:

* B=n^2(n^4-1) = n^2(n^2+1)(n^2 - 1) 
= n^2(n^2 - 4 + 5)(n^2 - 1) = n^2(n^2 - 1)(n^2 - 4) + n^2(n^2 - 1).5 
= (n - 2)(n-1).n^2(n+1)(n+2) + n^2(n^2 - 1).5 
(n - 2)(n-1).n^2(n+1)(n+2) chứa tích 5 số liên tiếp chia hết cho 5  và n^2(n^2 - 1).5 cũng chia hết cho 5 
=> B chia hết cho 5 

*B=n^2(n^4-1) = n^2(n^2+1)(n^2 -1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 
=> B chia hết cho 3 

*B=n^2(n^4-1) = n^2(n^2+1)(n^2 -1) = n^2(n^2+1)(n+1)(n-1) 
n chẵn => n^2 chia hết cho 4 => A(n) chia hết cho 4 
n lẻ => n +1 và n -1 là 2 số chẵn => (n+1)(n-1) chia hết cho 4 => A(n) chia hết cho 4 
=> B chia hết cho 4 

Vì: 3,4,5 nguyên tố cùng nhau => Bchia hết cho 3.4.5 = 60

Câu 5: Gọi biểu thức trên là C ta có:

Đặt C = mn(m4-n4) = mn(m2-n2)(m2+n2)=mn(m-n)(m+n)(m2+n2) 
*)Nếu 1 trong 2 số m,n chia hết cho 2 suy ra C chia hết cho 2. 
Nếu k0 thì m,n lẻ suy ra m-n chia hết cho 2 suy ra C chia hết cho 2. 
Vậy C chia hết cho 2 
*)Nếu m,n có 1 số chia hết cho 3 => C chia hết cho 3. 
Nếu k0: +)m,n đồng dư mod 3 => m-n chia hết cho 3 =>C chia hết cho 3 
+)m,n chia 3 dư lần lượt là 1, 2 =>m+n chia hết cho 3 => C chia hết cho 3. 
Vậy C chia hết cho 3. 
*)Nếu m,n có 1 số chia hết cho 5 => C chia hết cho 5 
Nếu k0 +)m,n đồng dư mod 5 =>m-n  chia hết cho 5 
+)m,n có số dư mod 5 là (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4),(3,4) 
Các trường hợp (1,4),(2,3) =>m+n  chia hết cho5 
Còn lại m2+n2 chai hết cho 5 (do 1 số chính phương chia 5 dư 0,1,4 nên bạn có thể tự thử các trường hợp còn lại) 
Vậy C chia hết cho 5. 
Từ kết quả trên => C chia hết cho 30( đpcm). 

Cách 1: Chứng minh quy nạp.

Đặt Un = n3 + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U1 = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta có:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1)

         = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

         = (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12

         = U_k + 3(k² + k + 4)

Mà: Uk ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k2 + k + 4) ⋮ 6. (Vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ Uk + 1 ⋮ 6.

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n3 + 11n

= n3 – n + 12n

= n(n2 – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒ n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.

n^3+11n chia hết cho 6

n^3+11n=n^3-n+12n

=(n-1)n(n+1)+12n

vậy n^3+11n luôn chia hết cho 6, với mọi n

Ta có :  m +11n \(⋮\) 12 

  <=> 9m + 99n \(⋮\) 12 

Mà   [( 9m + 99n) - (9m +3n) ] =    96n   \(⋮\) 12 

Vì  9m + 99n \(⋮\) 12    ;    96n \(⋮\) 12 

Nên 9m+3n \(⋮\)12 ( đpcm)

n^3+11n
=n^3-n+12n
=(n-1)n(n+1)+12n
chia hết cho 6 với mọi n € Z

Ta có \(n^3+11n\)=\(n^3-n+12n\)

\(=n(n^2-1)+12n\)

\(=(n-1)(n+1)n+12n\)

Vì n là số nguyên nên \((n-1)(n+1)n\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên phải chia hết cho 6;mà 12 lại chia hết cho 6

\(\Rightarrow\)12n cũng chia hết cho 6.

\(\Rightarrow\)\((n-1)(n+1)n+12n\) chia hết cho 6

Vậy \(n^3+11n\) chia hết cho 6 (đpcm)

Ta có: n³+11n

= n³-n+12n

= n(n²-1)+12n

=(n-1)(n+1)n+12n

Vì n-1, n, n+1 là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n-1)(n+1) chia hết cho 6.

Mà 12n chia hết cho 6

=>n³+11n chia hết cho 6

ta co:n^3+11n

=n^3-n+12n

=n(n^2-1)+12n

=(n-1)(n+1)n+12n

=n^3-n+12n

=n(n^2-1)+12n

=(n-1)N+1)

\(\left(m+11n\right)⋮12\Rightarrow-3\left(m+11n\right)⋮12\)

\(\Leftrightarrow\left(-3m-33n+12m+36n\right)⋮12\)

\(\Leftrightarrow\left(9m+3n\right)⋮12\)