Ta có:\(\sqrt{abc}=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{abc}\right)^6\ge\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^6\Leftrightarrow\left(abc\right)^3\ge3^6\left(abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow abc\ge3^6\)(1).Lại có:\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)

BĐT cần chứng minh tương đương với:\(3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge9\sqrt{abc}\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge3\sqrt{abc}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\right)^6\ge\left(3\sqrt{abc}\right)^6\)\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^4\ge3^6\left(abc\right)^3\Leftrightarrow abc\ge3^6\).Điều này luôn đúng theo (1)
Suy ra:\(ab+bc+ca\ge9\sqrt{abc}=9\left(a+b+c\right)\).Hoàn tất chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=9\)
 

Thanks bạn nhiều nhé!

Bạn có cách nào mà ko dùng BĐT Cauchy 3 số ko?

Các sô thực dương là j vậy bạn

các số thực dương là các số > 0 ( kể cả phân số , số thập phân , số vô tỉ )

ê mấy bọn ngu

ta co: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1.\)

=> a = b = c 

\(\Rightarrow S=\frac{4a-5b+2019c}{5a-5b+2020c}=\frac{4a-5a+2019a}{5a-5a+2020c}=\frac{2018a}{2020a}=\frac{1009}{1010}\)

ta co: a/b=b/c=c/a =  (a+b+c)/(b+c+a) = 1

=> a/b = 1 => a = b

b/c =  1 => b = c

=> a = b = c

\(\Rightarrow S=\frac{4a-5a+2019a}{5a-5a+2020a}=\frac{2018a}{2020a}=\frac{1009}{1010}.\)

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

\(\text{Suy ra :}\)

\(\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)(1)

\(\frac{b}{c}=1\Leftrightarrow b=c\)(2)

\(\text{Từ (1) và (2) suy ra }:\): \(a=b=c\)

\(S=\frac{4a-5b+2019c}{5a-5b+2020c}=\frac{4a-5a+2019a}{5a-5a+2020a}=\frac{2018a}{2020a}=\frac{1009}{1010}\)

>Chúc bạn học tốt<

Ta có: 

\(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)

\(=6\left(a+b+c\right)=18\)

Suy ra \(P\le3\sqrt{2}\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=1\). 

grsgrsg

omgggggggggggggomgomgomgggomggomgo

????????????

Đặt lần lượt x=a+b ; y=b+c; z=c+a

Thì ta có: a=\(\dfrac{x+z-y}{2}\);b=\(\dfrac{x+y-x}{2}\);c=\(\dfrac{y+z-x}{2}\)

Ráp vào BT ban đầu ta có:

\(\dfrac{z+x-y}{2y}\)+\(\dfrac{x+y-z}{2z}\)+\(\dfrac{y+z+x}{2x}\)=\(\dfrac{x+z-y}{\dfrac{2}{ }y}+\dfrac{x+y-z}{\dfrac{2}{z}}+\dfrac{y+z-x}{\dfrac{2}{x}}\)

Đến đây bạn đặt \(\dfrac{1}{2}\) chung ở vế trái sau đó chuyển vế là tính được nha