a,

S(ADC)=S(BDC) (vì có chung đáy và có chiều cao bằng nhau)

Mà:S(ADC)=S(AOD)+S(DOC)(1) và S(BDC)=S(BOC)+S(DOC) (2)

T­­­­ư (1) và (2) suy ra :S(ADO)=S(BOC)

b,

EF//AB nênAE/AD=BF/BC

Tam giác ADC có :OE/DC=AE/AD

Tam giác BDC có :OF/DC=BF/BC

Suy ra :OE/DC=OF/DC=>OE=OF

c,

Ta có :ED/AD+AE/AD=1. Mà ED/AD=EO/AB, AE/AD=EO/DC 

=>EO/AB+EO/DC=1

=>1/AB+1/DC=1/OE

Mặt khác:EO=OF=1/2EF =>1/OE=2/EF

=>1/AB+1/DC=2/EF

phương thảo nguyễn thị

a, S(ADC)=S(BDC) (vì có chung đáy và có chiều cao bằng nhau)
Mà:S(ADC)=S(AOD)+S(DOC)(1) và S(BDC)=S(BOC)+S(DOC) (2)
T­­­­ư (1) và (2) suy ra :S(ADO)=S(BOC)
b,EF//AB nênAE/AD=BF/BC
Tam giác ADC có :OE/DC=AE/AD
Tam giác BDC có :OF/DC=BF/BC
Suy ra :OE/DC=OF/DC=>OE=OF

c,Ta có :ED/AD+AE/AD=1. Mà ED/AD=EO/AB, AE/AD=EO/DC 
=>EO/AB+EO/DC=1
=>1/AB+1/DC=1/OE
Mặt khác:EO=OF=1/2EF =>1/OE=2/EF
=>1/AB+1/DC=2/EF

hoặc tham khảo Toán 8_khó | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập lớn nhất Việt Nam

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}+1=\dfrac{OD}{OB}+1\)

=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)

=>\(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)

=>\(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{BO}{BD}\)(1)

Xét ΔADC có OE//DC

nên \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\left(2\right)\)

Xét ΔBDC có OH//DC

nên \(\dfrac{OH}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{OH}{DC}\)

=>OE=OH

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét cho OE//DC,

OF//DC và AB//DC ta được:

Điều phải chứng minh.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét cho OE//DC,

OF//DC và AB//DC ta được:

Điều phải chứng minh.

Xét ΔADC có OE//DC

nên \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AE}{AD}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có OH//DC

nên \(\dfrac{OH}{DC}=\dfrac{BH}{BC}\left(2\right)\)

Xét hình thang ABCD có EH//AB//CD

nên \(\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BH}{HC}\)

=>\(\dfrac{ED}{AE}=\dfrac{CH}{HB}\)

=>\(\dfrac{ED+AE}{AE}=\dfrac{CH+HB}{HB}\)

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{CB}{HB}\)

=>\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{BH}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{OH}{DC}\)

=>OE=OH

Ta có \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2}(\mathrm{AC} - \mathrm{BD}) \) và \( \mathrm{OH} = \frac{1}{2}(\mathrm{AC} - \mathrm{BD}) \).

Vì \( \mathrm{AB} / / \mathrm{CD} \), nên các tam giác \( \mathrm{ABE} \) và \( \mathrm{CDH} \) đồng dạng.

Do đó, \( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AD}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).

Tương tự, \( \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BA}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).

Tổng hai phương trình trên ta có \( \frac{\mathrm{AE}+\mathrm{BE}}{\mathrm{AD}+\mathrm{BA}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).

Nhưng \( \mathrm{AD}+\mathrm{BA} = \mathrm{AD}+\mathrm{BC} = \mathrm{AC} \) và \( \mathrm{AE}+\mathrm{BE} = \mathrm{AE}+\mathrm{AD} = \mathrm{DE} \).

Vậy \( \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \) hoặc \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{CH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{CD}} \).

Lưu ý rằng \( \mathrm{CH} \) là độ dài đoạn thẳng vuông góc từ \( \mathrm{C} \) đến \( \mathrm{AB} \), nên \( \mathrm{CH} = \frac{\mathrm{CD} \cdot \mathrm{BH}}{\mathrm{BC}} \).

Do đó, \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{CD} \cdot \mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD}} \).

Hóa giản và ta có \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} \).

Xét tam giác \( \mathrm{BHE} \), ta thấy \( \mathrm{OE} \) là đoạn trung bình của \( \mathrm{BH} \), nên \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2}\mathrm{BH} \).

Tổng kết lại, \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{DE}}{2} = \mathrm{OH} \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được \( \mathrm{OE} = \mathrm{OH} \).