A=\(\frac{2n+7}{n+3}\)

\(\Rightarrow\)2n+7\(⋮\)n+3

\(\Rightarrow\)2(n+3)+1\(⋮\)n+3

\(\Rightarrow\)1\(⋮\)n+3\(\Rightarrow\)n+3\(\in\)Ư(1)={1;-1}

\(\Rightarrow\)n\(\in\){-2;-4}

\(\frac{2n+7}{n+3}=2+\frac{1}{n+3}\)

Để \(2+\frac{1}{n+3}\) là số nguyên <=> \(\frac{1}{n+3}\) là số nguyên

=> n + 3 thuộc ước của 1 => Ư(1) = { - 1; 1 }

Ta có : n + 3 = 1 => n = - 2 (TM)

           n + 3 = - 1 => n = - 4 (TM)

Vậy n = { - 4; - 2 }

\(a)\) Ta có : 

\(A=\frac{8n}{4n-3}=\frac{8n-6+6}{4n-3}=\frac{8n-6}{4n-3}+\frac{6}{4n-3}=\frac{2\left(4n-3\right)}{4n-3}+\frac{6}{4n-3}=2+\frac{6}{4n-3}\)

Để A có giá trị nguyên thì \(\frac{6}{4n-3}\) phải có giá trịn nguyên hay \(6⋮\left(4n-3\right)\)\(\Rightarrow\)\(\left(4n-3\right)\inƯ\left(6\right)\)

Mà \(Ư\left(6\right)=\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

Suy ra : 

Vì \(n\inℤ\) nên \(n\left\{0;1\right\}\)

Vậy \(n\in\left\{0;1\right\}\) thì A có giá trị nguyên 

Chúc bạn học tốt ~ 

\(b)\) Ta có : 

\(A=\frac{8n}{4n-3}=2+\frac{6}{4n-3}\) ( câu a mình có phân tích rùi ) 

Để A đạt GTNN thì \(\frac{6}{4n-3}\) phải đạt GTNN hay \(4n-3< 0\) và đạt GTLN 

\(\Rightarrow\)\(4n-3=-1\)

\(\Leftrightarrow\)\(4n=2\)

\(\Leftrightarrow\)\(n=\frac{1}{2}\) ( loại vì n là số nguyên ) 

\(\Rightarrow\)\(4n-3=-2\)

\(\Leftrightarrow\)\(4n=1\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\)\(4n-3=-3\)

\(\Leftrightarrow\)\(4n=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(n=0\)

Suy ra : 

\(A=\frac{8n}{4n-3}=\frac{8.0}{4.0-3}=\frac{0}{0-3}=0\)

Vậy \(A_{min}=0\) khi \(n=0\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Bài 1:

a: Để A là số nguyên thì n+7 chia hết cho 3n-1

=>3n+21 chia hết cho 3n-1

=>3n-1+22 chia hết cho 3n-1

mà n là số nguyên

nên \(3n-1\in\left\{-1;2;11;-22\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;1;4;-7\right\}\)

b: Để B là số tự nhiên thì \(3n+2⋮4n-5\) và 3n+2/4n-5>=0

=>\(\left\{{}\begin{matrix}12n+8⋮4n-5\\\left[{}\begin{matrix}n>\dfrac{5}{4}\\n< -\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n-15+23⋮4n-5\\\left[{}\begin{matrix}n>\dfrac{5}{4}\\n< -\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n-5\in\left\{1;-1;23;-23\right\}\\\left[{}\begin{matrix}n>\dfrac{5}{4}\\n< -\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow n=7\)

a/ \(M=\frac{2n-7}{n-5}=\frac{2n-10+3}{n-5}=\frac{2\left(n-5\right)+3}{n-5}=\frac{2\left(n-5\right)}{n-5}+\frac{3}{n-5}\)

Để \(\frac{2n-7}{n-5}\) có giá trị nguyên thì \(3⋮\left(n-5\right)\)

=> \(n-5\inƯ\left(3\right)=\left(-3;-1;1;3\right)\)

Nếu n - 5 = -3 => n = -3 + 5 => n = 2

Nếu n - 5 = -1 => n = -1 + 5 => n = 4

Nếu n - 5 = 1 => n = 1 + 5 => n = 6

Nếu n - 5 = 3 => n = 3 + 5 => n = 8

Vậy \(n\in\left\{2;4;6;8\right\}\)

\(M=\frac{2n-7}{n-5}=\frac{2\left(n-5\right)-7+10}{n-5}=\frac{2\left(n-5\right)+3}{n-5}=2+\frac{3}{n-5}\)

Với n thuộc Z để M nguyên 

\(\Leftrightarrow3⋮n-5\)

\(\Rightarrow n-5\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{5;4;8;2\right\}\)

Vậy...................................

\(3x+2⋮x-1\Rightarrow3\left(x-1\right)+5⋮x-1\)

\(\Rightarrow5⋮x-1\Rightarrow x-1\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{2;0;5;-4\right\}\)

Vậy............................

a, \(\frac{2n-7}{n-5}=\frac{2n-10+3}{n-5}=\frac{2(n-5)+3}{n-5}=2+\frac{3}{n-5}\)

M có giá trị nguyên \(\Leftrightarrow n-5\inƯ(3)\)

Vậy : ....

b) \(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+...+\dfrac{1}{2021.2023}\)

\(=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2023}\)

\(=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2023}\)

\(=\dfrac{2022}{2023}\)

\(b)\)\(A=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+...+\dfrac{1}{2021.2023}\)

\(2A=\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+...+\dfrac{2}{2021.2023}\)

\(2A=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2023}\)

\(2A=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2023}\)

\(2A=\dfrac{2022}{2023}\)

\(A=\dfrac{2022}{2023}:2\)

\(A=\dfrac{1011}{2023}\)

a) Để A thuộc Z => \(\sqrt{x}\)- 3thuộc ước của 2 => \(\sqrt{x}\)- 3 thuộc -1; -2;1;2

=> căn x = 1 hoặc 2

câu b làm tương tự

Ta có:

\(\dfrac{8n+19}{4n+1}=\dfrac{8n+2+17}{4n+1}=\dfrac{2\left(4n+1\right)+17}{4n+1}=2+\dfrac{17}{4n+1}\)

Để bt nguyên thì \(\dfrac{17}{4n+1}\) phải nguyên:

\(\Rightarrow4n+1\inƯ\left(17\right)=\left\{1;-1;17;-17\right\}\)

Mà n phải nguyên nên:

\(\Rightarrow4n+1\in\left\{1;17\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;4\right\}\)

Vậy: ...

(8n + 19)/(4n + 1) = 2 + 17/(4n+1). Để (8n + 19)/(4n + 1) có giá trị là một số nguyên => 17 chia hết cho 4n + 1
=> 4n + 1 = 17 => n = 4
=> 4n + 1 = 1 => n = 0
(2 số -17; -4 loại vì n ra phân số)