Đặt t=|2x-1| mà làm

\(m>1\Rightarrow ac=-m-3< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm trái dấu

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{2\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2}{x_1+x_2}=\dfrac{2.4\left(m-1\right)^2+6\left(m+3\right)}{2\left(m-1\right)}\)

\(=\dfrac{4\left(m-1\right)^2+3\left(m-1\right)+12}{m-1}=4\left(m-1\right)+\dfrac{12}{m-1}+3\)

\(A\ge2\sqrt{4\left(m-1\right).\dfrac{12}{m-1}}+3=3+8\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(4\left(m-1\right)=\dfrac{12}{m-1}\Rightarrow m=1+\sqrt{3}\)

Bài 1:

$\sqrt{x-4}-2$
ĐKXĐ: $x\geq 4$
Ta thấy $\sqrt{x-4}\geq 0$ với mọi $x\geq 4$
$\Rightarrow \sqrt{x-4}-2\geq 0-2=-2$
Vậy gtnn của biểu thức là $-2$. Giá trị này đạt được tại $x-4=0$

$\Leftrightarrow x=4$

Bài 2: $x-\sqrt{x}$

ĐKXĐ: $x\geq 0$

$x-\sqrt{x}=(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}=(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$

$\geq 0-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}$
Vậy gtnn của biểu thức là $\frac{-1}{4}$. Giá trị này đạt được khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Bài 3:

$x-4\sqrt{x}+10$

ĐKXĐ: $x\geq 0$

Ta có: $x-4\sqrt{x}+10=(x-4\sqrt{x}+4)+6=(\sqrt{x}-2)^2+6\geq 0+6=6$

Vậy gtnn của biểu thức là $6$. Giá trị này đạt được khi $\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow x=4$

Bước 1: Tìm điểm chung của hai đồ thị y=(3m+2)⋅2+5(m≠−1) và y=−x−1:

Để điểm A(X,Y) là điểm chung của hai đồ thị, ta giải hệ phương trình:

(3m+2)⋅2+5=−X−1

=> m = -(x+10)/6

Bước 2: Tính giá trị p tại điểm A:

Ta đã biết Y=−X−1, thay vào hàm số p:

p=Y^2+2X−3

p=(−X−1)^2+2X−3

p=X^2+2X+1+2X−3

p=X^2+4X−2

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của p:

Hàm số p=X^2+4X−2 là một hàm bậc hai, với hệ số a của X^2 là 1>0, vì vậy đồ thị của hàm số p là một đường parabol mở hướng lên. Để tìm giá trị nhỏ nhất của p, ta xác định điểm cực tiểu của đường parabol, đó là điểm mà đường cong cực tiểu nhất.

Đối với một hàm bậc hai y=ax^2+bx+c, điểm cực tiểu được xác định bởi:

Xmin​=-b/2a​

Ymin​=f(Xmin​)

Xmin​=−2

Ymin​=(−2)2+4⋅(−2)−2=0

Vậy giá trị nhỏ nhất của p là pmin​=0.

Bước 4: Tìm giá trị m tương ứng với pmin​=0:

Ta đã biết m=−(X+10)/6​, thay pmin​=0 vào đó:

0=−(Xmin​+10)/6​

=> 0=-4/3​

Điều này không thỏa mãn phương trình, vậy không có giá trị m nào khiến pmin​=0.

Ta có : \(\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1}=1-\frac{x}{\left(x+1\right)^2}\)

\(=1-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}=\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\right]+\frac{3}{4}\)

\(=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Vậy GTNN_P là \(\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=1\)

f(x)= 2x²-7x+1

\(=2\left(x^2-\frac{7x}{2}+\frac{1}{2}\right)\)

\(=2\left(x^2-\frac{7x}{2}+\frac{49}{16}\right)-\frac{41}{8}\)

\(=2\left(x-\frac{7}{4}\right)^2-\frac{41}{8}\ge0-\frac{41}{8}=-\frac{41}{8}\)

Dấu = khi \(2\left(x-\frac{7}{4}\right)^2=0\Leftrightarrow x-\frac{7}{4}\Leftrightarrow x=\frac{7}{4}\)

Vậy...