x^4 + 4x^3+ 6x^2+ 4x = y^2

Hướng dẫn: Ta có: x^4 + 4x^3+ 6x^2+ 4x = y^2 

⇔ x^4 +4x^3+6x^2+4x +1- y^2=1

⇔ (x+1)^4 – y^2 = 1

⇔ [(x+1)^2 –y] [(x+1)^2+y]= 1

\(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2-y=1\\\left(x+1\right)^2+y=1\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2-y=-1\\\left(x+1\right)^2+y=-1\end{cases}}\)

\(\orbr{\begin{cases}1-y=1+y\\-1-y=-1+y\end{cases}}\)

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)^2 = 1

⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

Chúc bạn hk tốt!!!

 

\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+12x^2-32x+32=\left(y-5\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\left(x^2+8\right)=\left(y-5\right)^2\)

- Với \(x=2\Rightarrow y=5\)

- Với \(x\ne2\Rightarrow x-2\) là ước của \(y-5\) 

Đặt \(y-5=n\left(x-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2\left(x^2+8\right)=n^2\left(x-2\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+8=n^2\)

\(\Rightarrow\left(n-x\right)\left(n+x\right)=8\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1;n=-3\Rightarrow y=8\\x=-1;n=-3\Rightarrow y=14\\x=1;n=3\Rightarrow y=2\\x=-1;n=3\Rightarrow y=-4\end{matrix}\right.\) 

\(2xy-4x-y=1\Rightarrow2xy-4x-y+2=3\Rightarrow2x\left(y-2\right)-\left(y-2\right)=3\Rightarrow\left(2x-1\right)\left(y-2\right)=3\)

Vì x,y là nghiệm nguyên nên ta xét các trường hợp : 

1. \(\hept{\begin{cases}2x-1=1\\y-2=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}}}\)

2. \(\hept{\begin{cases}2x-1=3\\y-2=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

3. \(\hept{\begin{cases}2x-1=-1\\y-2=-3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}}}\)

4. \(\hept{\begin{cases}2x-1=-3\\y-2=-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}\)

Vậy nghiệm của phương trình là : \(\left(x;y\right)=\left(-1;1\right);\left(0;-1\right);\left(1;5\right);\left(2;3\right)\)

2xy-4x-y=1

x(2y-4)-y=1

2x(2y-4)-2y=2

2x(2y-4)-2y+4=6

2x(2y-4)-(2y-4)=6

(2y-4)(2x-1)=6

Đến đây, ta thấy 2x-1 là ước lẻ của 6 =>2x-1 E { 1;3 }

Với 2x-1=1 thì 2y-4=6 =>x=1, y=5

Với 2x-1=3 thì 2y-4=2 =>x=2, y=3

Em mới học lớp 6 nên chỉ làm theo cách lớp 6 thôi. Còn nghiệm nguyên thì em chưa học

2xy-4x-y=1

x(2y-4)-y=1

2x(2y-4)-2y=2

2x(2y-4)-2y+4=6

2x(2y-4)-(2y-4)=6

(2y-4)(2x-1)=6

Đến đây, ta thấy 2x-1 là ước lẻ của 6 =>2x-1 E { 1;3 }

Với 2x-1=1 thì 2y-4=6 =>x=1, y=5

Với 2x-1=3 thì 2y-4=2 =>x=2, y=3

Bài này dùng phương pháp kẹp là xong, lười làm bài hả?

dùng kệp không ra, thử mà xem

\(ĐK:\)  \(x,y\in Z\)

Ta thấy:

\(y^2=\left(x^4+4x^3+4x^2\right)+2\left(x^2+2x\right)\)

nên  \(y^2=\left(x^2+2x\right)^2+2\left(x^2+2x\right)\)

Khi đó, ta sẽ chứng minh  \(a^2\le y^2< \left(a+1\right)^2\)  \(\left(o\right)\)  với  \(a=x^2+2x\)

Thật vậy,  ta có:  \(y^2-a^2=2\left(x^2+2x\right)\ge0\)

\(\left(a+1\right)^2-y^2=\left(x^2+2x+1\right)^2-\left(x^4+4x^3+6x^2+4x\right)=1>0\)

nên  \(\left(o\right)\)  được chứng minh

Do   \(a^2\le y^2< \left(a+1\right)^2\)  nên  \(y^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^4+4x^3+6x^2+4x=\left(x^2+2x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(2\left(x^2+2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-2\end{cases}}}\)

Với  \(x=0\)  thì từ phương trình suy ra  \(y=0\)  \(\left(\text{t/m ĐK}\right)\)

Với  \(x=-2\)  thì ta cũng dễ dàng chứng minh được  \(y=0\)  \(\left(\text{t/m ĐK}\right)\)

Vậy,  \(\left(x,y\right)=\left(0,0\right);\left(-2;0\right)\)  và các vòng hoán vị