PT có vô số nghiệm. Bạn cần bổ sung thêm điều kiện gì thì mới giải được chứ.

Ta có phương trình :

\(x^2y+x^2=x^3-y+2x+7\)

\(\Leftrightarrow x^2y+y=x^3-x^2+2x+7\)

\(\Leftrightarrow y.\left(x^2+1\right)=x^3-x^2+2x+7\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}\)

Do \(y\inℤ\rightarrow\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}\inℤ\). Lại có \(x\inℤ\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3-x^2+2x+7\inℤ\\x^2+1\inℤ\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^3-x^2+2x+7⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x.\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)+x+8⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x+8⋮x^2+1\)

\(\Rightarrow\left(x+8\right)\left(x-8\right)⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-65⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow65⋮x^2+1\)\(\Leftrightarrow x^2+1\inƯ\left(65\right)\). Mà : \(x^2+1\ge1\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+1\in\left\{1,5,13,65\right\}\)

\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{0,4,12,64\right\}\). \(x^2\) là số chính phương với \(x\inℤ\)

\(\Rightarrow x^2\in\left\{0,4,64\right\}\Rightarrow x\in\left\{0,2,-2,8,-8\right\}\)

+) Với \(x=0\) thì \(y=7\) ( Thỏa mãn )

+) Với \(x=2\) thì \(y=3\) ( Thỏa mãn )

+) Với \(x=-2\) thì \(y=-\frac{9}{5}\) ( Loại )

+) Với \(x=8\) thì \(y=\frac{471}{65}\) ( Loại )

+) Với \(x=-8\) thì \(y=-9\) ( Thỏa mãn )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-8,-9\right);\left(0,7\right);\left(2,3\right)\right\}\)

bạn ưi, cho gửi lại tại vì hơi bị lộn kiến thức :)
tìm nghiệm tổng quát:
2x+y=4⇔x=2-1/2y hay y=4-2x
⇔y∈R                        ⇔ x∈R
    x=2-1/2y                     y=4-2x
3x-2y=4⇔x=4/3+2/3yhay y=3/2x-2
             ⇔y∈R           hay ⇔x∈R
                 x=4/3+2/3y           y=3/2x-2

còn biểu diễn 2 cái đấy trên trục tọa độ thì mik làm r 

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi phương trình đã cho về 2 log 5 x 2 − 2 x − 3 = log 2 x 2 − 2 x − 4 và đặt ẩn phụ t = log 5 x 2 − 2 x − 3  đưa về phương trình ẩn t.

Xét hàm f t và tìm nghiệm của f t = 0  từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Cách giải:

Phương trình (1):  log 5 x 2 − 2 x − 3 = 2 log 2 x 2 − 2 x − 4

Điều kiện:  x 2 − 2 x − 3 > 0 x 2 − 2 x − 4 > 0 ⇔ x 2 − 2 x − 4 > 0

Vì  x 2 − 2 x − < x 2 − 2 x − 3 , ∀ x ∈ R

1 ⇔ 2 log 5 x 2 − 2 x − 3 = log 2 x 2 − 2 x − 4 *

Đặt  t = log 5 x 2 − 2 x − 3

⇒ x 2 − 2 x − 3 = 5 t ⇒ x 2 − 2 x − 4 = 5 t − 1 > 0 ⇔ t > 0

Phương trình (*) trở thành:

2 t = log 2 5 t − 1 ⇔ 5 t − 4 t − 1 = 0

Xét hàm số y t = 5 t − 4 t − 1 trên  0 ; + ∞

Có  y ' t = 5 t ln 5 − 4 t ln 4

Vì 5 t > 4 t , ∀ t ∈ 0 ; + ∞ ; ln 5 > ln 4 nên  y t = 5 t ln − 4 t ln > 0 , ∀ t ∈ 0 ; + ∞

⇒ f t đồng biến trên  0 ; + ∞

Bảng biến thiên:

Mà f t = 0 ⇒ t = 1 là nghiệm duy nhất phương trình  f t = 0

Với  t = 1 ⇒ log 5 x 2 − 2 x − 3 = 1

⇔ x 2 − 2 x − 3 = 5 ⇔ x 2 − 2 x − 8 = 0

Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là:  x 1 + x 2 = 2.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

ĐKXĐ: 2 x − 3 ≥ 0 4 x 2 − 15 ≥ 0     ( * )

Với điều kiện (*) phương trình tương đương với

( 2 x − 3 ) 2 = ( 4 x 2 − 15 ) 2 ⇔ 2 x − 3 = 4 x 2 − 15

⇔ 4 x 2 − 2 x − 12 = 0 ⇔ x = 2 x = − 3 2

Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất  x = 2

Đáp án cần chọn là: A

Do VP là số lẻ

<=> 2x + 5y + 1 là số lẻ và \(2^{\left|x\right|}+y+x^2+x\) là số lẻ

<=> y chẵn và \(2^{\left|x\right|}+y+x\left(x+1\right)\) là số lẻ 

=> \(2^{\left|x\right|}\) là số lẻ (do y chẵn và x(x+1) chẵn)

=> x = 0

PT <=> \(\left(5y+1\right)\left(1+y\right)=105\)

<=> y = 4 (thử lại -> thỏa mãn)

KL: x = 0; y = 4

2x³-x²y+3x²+2x-y=2

(2x³+2x)-(x²y+y)+(3x²+3)=5

2x(x²+1)-y(x²+1)+3(x²+1)=5

(x²+1)(2x-y+3)=5

Mà x²>=0 => x²+1>0

=> (x²+1)(2x-y+3)=5=1.5=5.1

•x²+1=1 và 2x-y+3=5 => x=0; y=-2

•x²+1=5 và 2x-y+3=1=> x=2;y=6 hoặc x=-2; y=-2

Vậy (x;y) là (0;-2);(2;6);(-2;-2)

nghiệm nguyên

<=> y² + 2x³y + 2x⁶ - 64 = 0 (1)

Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn y, x là tham số

(1) có nghiệm <=> Δ ≥ 0 <=> ( 2x³ )² - 4( 1 + 2x⁶ - 64 ) ≥ 0

<=> 4x⁶ - 4 - 8x⁶ + 256 ≥ 0 <=> -4x⁶ + 252 ≥ 0 <=> x ∈ { -1 ; 0 ; 1 } ( giải bpt này khó v nên cho nghiệm luôn )

+) Với x = -1 (1) trở thành y² - 2y - 62 = 0 có Δ = 252 không là SCP nên không có nghiệm nguyên

+) Với x = 0 (1) trở thành y² - 64 = 0 <=> y = ±8 (tm)

+) Với x = 1 (1) trở thành y² + 2y - 62 = 0 có Δ = 252 không là SCP nên không có nghiệm nguyên

Vậy ( x ; y ) ∈ { ( 0 ; 8 ) , ( 0 ; -8 ) }