Cho 3 số a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 và 1/a +1/b +1/c =1. Giá trị của biểu thức A=a2013+b2013+c2013 =?
cho a + b + c = 1; a2 + b2 + c2 = 1; a3 + b3 + c3 = 1
Chứng minh rằng a2013 + b2013 + c2013 = 1
Cho các số a b c , , thỏa mãn abc 0 và 1 1 1 1 3 a b b c c a a b c c a b . Tính giá trị của biểu thức S a b c 2011.
a) Cho a,b,c ∈ R thỏa mãn a+b+c = 0 và \(a^2+b^2+c^2\)=1. Tính giá trị của biểu thức S= \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
b) Cho đa thức bậc hai P(x) thỏa mãn P(1)=1, P(3)=3, P(7)=31. Tính giá trị của P(10)
a) Có:
\(a+b+c=0\\\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\\ \Leftrightarrow2ab+2bc+2ca=-1\\ \Leftrightarrow ab+bc+ca=-\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\dfrac{1}{4}-0=\dfrac{1}{4} \)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/3 . Tính giá trị biểu thức P = (a − 3)^2017 .(b − 3)^2017 .(c − 3)^2017
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}(vì a+b+c=3)\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}= \dfrac{1}{a+b+c}- \dfrac{1}{c }\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{b+a}{ab}=\dfrac{c-a-b-c}{ac+bc+c^{2}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{a+b}{-ac-bc-c^2}\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ ab=-ac-bc-c^2 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ ab+ac+bc+c^2=0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ (a+c)(b+c)=0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ a+c=0\\ b+c=0 \end{array} \right.\)
Vì vai trò của a,b,c là như nhau nên ta giả sử a+b=0
mà a+b+c=0
\(\Rightarrow c=3\)
Thay c=3 vào biểu thức P ta có:
\(P=(a-3)^{2017}.(b-3)^{2017}.(3-3)^{2017} =0 \)
Vậy P=0
Cho 3 số thực a b c khác 1 thỏa mãn a + b + c = 3 tìm giá trị của biểu thức B = (a-1)^2 /(b - 1)(c-1) + (b-1)^2/(c-1)(a-1) + (c-1)^2/(a-1)(b-1)
Vì \(a\ne1,b\ne1,c\ne1\)\(\Rightarrow a-1\ne0,b-1\ne0,c-1\ne0\)
Ta có : \(B=\frac{\left(a-1\right)^2}{\left(b-1\right)\left(c-1\right)}+\frac{\left(b-1\right)^2}{\left(c-1\right)\left(a-1\right)}+\frac{\left(c-1\right)^2}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\)
\(=\frac{\left(a-1\right)^3}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}+\frac{\left(b-1\right)^3}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}+\frac{\left(c-1\right)^3}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\)
\(=\frac{\left(a-1\right)^3+\left(b-1\right)^3+\left(c-1\right)^3}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\left(1\right)\)
Lại có : \(\left(a-1\right)+\left(b-1\right)+\left(c-1\right)=\left(a+b+c\right)-3=3-3=0\)
Ta chứng minh tính chất sau : Nếu \(x+y+z=0\)thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Thật vậy :
Ta có : \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y\right)z-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)[\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y\right)z-3xy]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-3zx-3yz-3xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)luôn đúng , do \(x+y+z=0\)
Áp dụng vào , khi đó : \(\left(1\right)\Leftrightarrow\)\(\frac{3\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\)
Vì \(a-1\ne0,b-1\ne0,c-1\ne0\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ne0\)
\(\Rightarrow B=3\)
Vậy \(B=3\)
\(B=\frac{\left(a-1\right)^3+\left(b-1\right)^3+\left(c-1\right)^3}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\)
Đặt \(a-1=x,b-1=y,z-1=z\)thì \(x+y+z=0\).
\(B=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)+3xyz}{xyz}=\frac{3xyz}{xyz}=3\)
Cho ba số thực a,b,c khác 0 thỏa mãn a+b+c=1 và 1/a+1/b+1/c =1. Tính giá trị của biểu thức a^2018+b^2018+c^2018
Cho các số thực a;b;c khác 0 thỏa mãn a^3+b^3+c^3=3abc. Tính giá trị biểu thức A=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)
a^3+b^3+c^3=3abc
=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3bac=0
=>(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)=0
=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0
=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
=>(a-c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2=0
=>a=b=c
=>A=(1+b/b)(1+b/b)(1+c/c)
=2*2*2=8
Cho a,b,c thỏa mãn : 1/a + 1/b + 1/c = 1 / a+b+c. Tính giá trị của biểu thức : A= (a^3 + b^3)(b^3 + c^3)(c^3 + a^3).
câu1:
a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
P=\(\frac{ab+bc+ca-abc}{a+2b+c}\)
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(^{a^2+b^2+c^2=1}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =ab +bc + ca .