Giả sử \(\widehat{ACB}>\widehat{ACD}\) trên BD lấy điểm E sao cho \(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\)

Xét △ACD và △BCE có

\(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\)(gt)

\(\widehat{CAD}=\widehat{CBE}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{CD}\))

Suy ra △ACD \(\sim\) △BCE(g-g)

\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BE}\Rightarrow BC.AD=AC.BE\)(1)

Xét △ACB và △DCE có

\(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\)\(\widehat{BCE}+\widehat{ECA}=\widehat{ACD}+\widehat{ECA}\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{DCE}\)

\(\widehat{CDE}=\widehat{CAB}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{BC}\))

Suy ra △ACB \(\sim\) △DCE(g-g)

\(\Rightarrow\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DE}\Rightarrow AB.CD=AC.DE\)(2)

Cộng (1) và (2)\(\Leftrightarrow AB.CD+BC.AD=AC.BE+AC.DE=AC\left(BE+CE\right)=AC.BD\)

Vậy \(AB.CD+BC.AD=AC.BD\)

 Đây là đẳng thức ptôlêmê. 
C/m: Lấy 1 điểm M thuộc AC sao cho gocABD=gocMBC. Do tứ giác ABCD nội tiếp nên ^ADC=^ACB. Từ 2 điều trên suy ra tam giác ABD ~ MBC(g.g). Suy ra AD/MC=BD/BC => AD.BC=BD.MC (1) 
Từ cặp tam giác đồng dạng trên ta cũng có AB/BM = BD/BC => AB/BD = BM/BC mà ^ABM = ^DBC nên tam giác ABM ~ tam giác DBC. 
=> AB.CD=AM.BD (2) 
Cộng (1), (2) vế theo vế suy ra AC.BD = AB . CD + AD . BC

Vậy AC.BD = AB.CD + AD . BC ( đpcm )

Ta có: `hat(ABD) = hat(ACD)`.

Lấy `M in AC` sao cho `hat(ADB) = hat(MDC)`.

`=> triangle ABD ~ triangle MCD`.

`=> (AB)/(MC) = (BD)/(CD) => AB . CD = BD . MC`.

Xét `2 triangle ADM, BDC`, ta có:

`hat(ADM) = hat(BDC)`.

`(DA)/(DM) = (BD)/(DC) ( triangle ABD ~ triangle MCD )`.

`=> triangle ADM ~ triangle BCD => (AD)/(AM) = (BD)/(CB) => AD . BC = BD . AM`

`=> AD . BC + AD . BC = BD . AM + BD . MC`

`=> AD . BC + AD . BC = BD(AM+MC)`

`=> AD.BC+AD.BC = BD . AC => dpcm`.

a) Xét \(\Delta IAD\)và \(\Delta IBC\)có:

\(\widehat{AID}=\widehat{BIC}\)(2góc đối đỉnh)

\(\widehat{ADI}=\widehat{BCI}\)(cùng nhìn cung AB)

\(\Rightarrow\Delta IAD\)đồng dạng với \(\Delta IBC\)

\(\Rightarrow\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}\Rightarrow IA.IC=IB.ID\)(ĐPCM)

b)Xét \(\Delta JAC\)và \(\Delta JBD\)có:

\(\widehat{J}\)là góc chung

\(\widehat{JCA}=\widehat{JDB}\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta JAC\)đồng dạng với\(\Delta JBD\)

\(\Rightarrow\frac{JA}{JB}=\frac{JC}{JD}\Rightarrow JA.JD=JB.JC\)(ĐPCM)

Phần a tui đánh máy bị lỗi nhé, chỗ chữ bị nhỏ lên là góc á, còn đoạn gần cuối là \(\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}\)nhé

Sao ko ai làm đ bài này trời ? hic.

vì tứ giác ABCD nội tiếp,theo định lý Ptoleme ta có:

AC.BD=AB.CD+AD.BC (ĐPCM)

I"M class 6

Định lí Ptoleme

Định lý Ptoleme xem trên mạng