Chứng minh đề bài sai

Ta có 

\(2^8+2=2\left(2^7+1\right)\)

=>\(A⋮2\)

A không chia hết cho 2 vì toàn bộ thừa số của A đều lẻ.

 t nghĩ đề là \(2^8+1\)

Đây này :

\(A=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)...\left(2^{2n}+1\right)\)

\(=3.\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)....\left(2^{2n}+1\right)\)

\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)....\left(2^{2n}+1\right)\)

\(=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right).....\left(2^{2n}+1\right)\)

\(=\left(2^8-1\right).....\left(2^{2n}+1\right)\)

\(=2^{4n}-1\)không chia hết cho 2 

Sử dụng liên tục tính chất \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2\)để rút gọn ra số cuối cùng.

a) \(x\left(x^2-2x\right)+\left(x-2x\right)=x^2\left(x-2\right)+x\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+x\right)⋮x-2\forall x,y\in Z\)

b) \(x^3y^2-3yx^2+xy=xy\left(x^2y-3x+1\right)⋮xy\forall x,y\in Z\)

c) \(x^3y^2-3x^2y^3+xy^2=xy^2\left(x^2-3xy+1\right)⋮\left(x^2-3xy+1\right)\forall x,y\in Z\)

TH1: n chia hết cho 3

=> n² + n chia hết cho 3 

Mà 2 chia 3 dư 2

=> n² + n + 2 chia 3 dư 2

TH2: n chia 2 dư 1

=> n² chia 3 dư 1

=> n² + n chia 3 dư 2

Mà 2 chia 3 dư 2

=> n² + n + 2 chia 3 dư 1

TH3: n chia 3 dư 2

=> n² chia 3 dư 1

=> n² + n chia hết cho 3

Mà 2 chia 3 dư 2

=> n² + n + 2 chia 3 dư 2

KL: Vậy với mọi số nguyên n thì n² + n + 2 không chia hết cho 3 (đpcm)

Hồ Thu Giang ơi ! Bạn xem kĩ bài đi, sai 1 số chỗ đấy ! 

a) Ta có:

\(n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì trong 3 số nguyên liên tiếp, có ít nhất 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 2 nên tích n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 hay \(n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6(đpcm).

b) Ta có:

\(20^{n+1}-20^n=20^n\cdot19\)

Vì \(20^n\) là số nguyên nên \(20^n\cdot19⋮19\). Hay \(20^{n+1}-20^n⋮19\left(đpcm\right)\)

Với mọi số tự nhiên n.

Ta có: \(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)

Do n; n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp 

=> n ( n + 1) chia hết cho 2.

=> n ( n+ 1)  + 1 không chia hết chia hết cho 2

=> \(n^2+n+1\)không chia hết cho 2

=> \(n^2+n+1\) không chia hết cho 4.

Giả sử như mệnh đề trên đúng : 
n^2+1 chia hết cho 4 
* Nếu n chẵn : n = 2k , k thuộc N 
=> n^2 +1 = 4k^2 +1 k chia hết cho 4 
* nếu n lẻ : n = 2k + 1 
=> n^2 +1 = 4k^2 +4k +2 
=> n^2 +1 = 4k(k+1)+2 
k , k +1 là 2 số tự nhiên liên tiếp 
=> k(k+1) chia hết cho 2 
=> 4k(k+1)chia hết cho 4 
=> 4k(k+1)+2 chia cho 4 , dư 2 
=> 4k (k+1)+2 k chia hết cho 4

\(\left[...\right]=\left[n+\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\right]=\left[n+1-\frac{1}{n+1}\right]=\left[n+\frac{n}{n+1}\right]\)

Do n dương nên \(\frac{n}{n+1}< 1\)\(\Rightarrow\)\(\left[n+\frac{n}{n+1}\right]=n\)