cho a,b,c là ba cạnh của tam giác c/m:
A= a/(b+c-a) + b/(a+c-b) +c/(a+b-c) lớn hơn hoặc bằng 3
cần gấp ai làm hộ thành thật rất cảm ơn
làm hơn tắt cũng được
Biết a,,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và 0 nhỏ hơn hoặc bằng t nhỏ hơn hoặc bằng 1 chứng minh rằng :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}}\)lớn hơn hoặc bằng \(2\sqrt{t+1}\)
cho a,b,c là cạnh của 1 tam giác chứng minh rằng: 2(a/b + b/c + c/a) lớn hơn hoặc bằng a/c + b/a + c/b
Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng: abc lớn hơn hoặc bằng (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác áp dụng bđt tam giác ta có\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\\a+c>b\Rightarrow a+c-b>0\\b+c>a\Rightarrow b+c-a>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b-c};\sqrt{a+c-b};\sqrt{b+c-a}\)luôn được xác định\(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)>=0\Rightarrow a+b-c-2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}+a+c-b\)\(>=0\Rightarrow a+b-c+a+c-b>=2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\Rightarrow\frac{a+b-c+a+c-b}{2}=\frac{2a}{2}\)
\(=a>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\)
tương tự ta có :\(b>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)};c>=\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}\)
\(\Rightarrow abc>=\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(a+c-b\right)^2\left(b+c-a\right)^2}=\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
dòng 3 là vì \(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)^2>=0\)nhá
Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
\(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)lớn hơn hoặc bằng 3
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=b+c-a\\y=a+c-b\\z=a+b-c\end{cases}}\left(x;y;z>0\right)\).Ta có:
\(x+y=b+c-a+a+c-b=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\)
\(y+z=a+c-b+a+b-c=2a\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}\)
\(z+x=a+b-c+b+c-a=2b\Rightarrow b=\frac{z+x}{2}\)
Do đó: \(A=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\Leftrightarrow2A=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge6\) (BĐT AM-GM)
\(\Rightarrow A\ge\frac{6}{2}=3\).Dấu "=" khi a=b=c
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
A= a/(b+c-a) + b/(a+c-b) + c/(a+b-c) lớn hơn hoặc bằng 3
trước hết theo bđt tam giác chỉ ra được rằng \(\dfrac{a}{b+c-a};\dfrac{b}{a+c-b};\dfrac{c}{a+b-c}>0\)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)
\(A=\dfrac{a^2}{ab+ac-a^2}+\dfrac{b^2}{ab+bc-b^2}+\dfrac{c^2}{ac+bc-c^2}\)
\(A\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)-a^2-b^2-c^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(2\left(ab+bc+ac\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\le2\left(ab+bc+ac\right)-\left(ab+bc+ac\right)\)
\(=ab+bc+ac\)
Mặt khác,theo AM-GM: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
Hay: \(A\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)-a^2-b^2-c^2}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{ab+bc+ac}=3\)
Đặt \(b+c-a=x,a+c-b=y,a+b-c=z\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=b+c-a+a+c-b=2c\\y+z=a+c-b+a+b-c=2a\\x+z=b+c-a+a+b-c=2b\end{matrix}\right.\)
Có
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)
\(\Leftrightarrow2A=\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)
\(\Leftrightarrow2A=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge6\)
\(\Leftrightarrow2A=\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\right)+\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\)
Ápdụng bất đẳng thức \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\forall a,b>0\)
\(\Rightarrow2A\ge6\)
\(\Rightarrow A\ge3\left(đpcm\right)\)
Cho a,b,c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng:
(a/b+c-a) + (b/a+c-b) + (c/a+b-c) lớn hơn hoặc bằng 3
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác và a nhỏ hơn hoặc bằng b nhỏ hơn hoặc bằng c. CMR (a+b+c)2 nhro hơn hoặc bằng 9
Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh huyền . CMR:a^2n + b^2n bé hơn hoặc bằng c ^ 2n; n Là số tự nhiên lớn hơn 0
Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a*b+b*c+c*a nhỏ hơn hoặc bằng a^2+b^2+c^2 nhỏ hơn 2*(a*b+b*c+c*a)