Ta có phương trình :

\(x^2y+x^2=x^3-y+2x+7\)

\(\Leftrightarrow x^2y+y=x^3-x^2+2x+7\)

\(\Leftrightarrow y.\left(x^2+1\right)=x^3-x^2+2x+7\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}\)

Do \(y\inℤ\rightarrow\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}\inℤ\). Lại có \(x\inℤ\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3-x^2+2x+7\inℤ\\x^2+1\inℤ\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^3-x^2+2x+7⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x.\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)+x+8⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x+8⋮x^2+1\)

\(\Rightarrow\left(x+8\right)\left(x-8\right)⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-65⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow65⋮x^2+1\)\(\Leftrightarrow x^2+1\inƯ\left(65\right)\). Mà : \(x^2+1\ge1\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+1\in\left\{1,5,13,65\right\}\)

\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{0,4,12,64\right\}\). \(x^2\) là số chính phương với \(x\inℤ\)

\(\Rightarrow x^2\in\left\{0,4,64\right\}\Rightarrow x\in\left\{0,2,-2,8,-8\right\}\)

+) Với \(x=0\) thì \(y=7\) ( Thỏa mãn )

+) Với \(x=2\) thì \(y=3\) ( Thỏa mãn )

+) Với \(x=-2\) thì \(y=-\frac{9}{5}\) ( Loại )

+) Với \(x=8\) thì \(y=\frac{471}{65}\) ( Loại )

+) Với \(x=-8\) thì \(y=-9\) ( Thỏa mãn )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-8,-9\right);\left(0,7\right);\left(2,3\right)\right\}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(2y+x+2\right)=7\)

\(2y^2-x=2y-xy+3\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(2y+x\right)=3\)

2y^2-x=2y-xy+3
<=>2y^2-2y-x+xy=3
<=>2y(y-1)+x(y-1)=3
<=>(y-1)(2y+x)=3
=>y-1;2y+x thuộc ước của 3
tới đây bạn xét 4 TH là được nha

Chúc học tốt!