Nếu p = 3 ta có: 2p² + 1 = 2.(3)² + 1 = 19 (loại)

Nếu p = 3k + 1 ta có: p² \(\equiv\) 1 (mod 3) (tc của số chính phương)

                               2.p² \(\equiv\) 2 (mod 3)

                          2p² + 1 ⋮ 3 ⇒ 2p² + 1 là hợp số thỏa mãn

Nếu p = 3k + 2 ta có: p² \(\equiv\)  1 (mod 3) (tc của số chính phương)

                                2.p² \(\equiv\) 2 (mod 3)

                        ⇒ 2p² + 1  ⋮ 3 (mod 3)  

                        ⇒ 2p² + 1 là hợp số

         Vậy tất cả các số nguyên tố khác 3 đều thỏa mãn 

         2p² + 1 là hợp số

bạn tên là gì

a) Gọi p là số nguyên tố cần tìm.
Nếu p chia hết cho 3 và p là số nguyên tố nên  p = 3.
Ta có \(2p^2+1=19\).
Vậy p = 3 (thỏa mãn).
Nếu p chia cho 3 dư 1, ta có p = 3k + 1. ( k là một số tự nhiên).
\(2p^2+1=2.\left(3k+1\right)^2+1=2\left(9k^2+6k+1\right)+1=18k^2+12k+3\)\(=3\left(6k^2+4k+1\right)\) chia hết cho 3.
Nếu p chia cho 3 dư 2, ta có p = 3k + 2, (k là một số tự nhiên).
\(2p^2+1=2\left(3k+2\right)^2+1=2\left(9k^2+12k+4\right)+1\)\(=18k^2+24k+9=3\left(6k^2+8k+3\right)\) chia hết cho 3.
vậy p = 3 là giá trị cần tìm.
 

b) Dễ thấy p = 2 không phải là giá trị cần tìm.
vậy p là một số nguyên tố lẻ suy ra p có tận cùng là 1, 3, 5, 7.
nếu p có tận cùng là 1 thì \(p^2\) cũng có tận cùng là 1. Suy ra \(4p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
nếu p có tận cùng là 3 thì \(p^2\) có tận cùng là 9. Suy ra \(6p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
nếu p có tận cùng là 5 thì  p phải bằng 5. Thay vào ta thấy của \(4p^2+1\) và \(6p^2+1\) đều là các số nguyên tố.
nếu p có tận cùng là 7 thì \(p^2\) có tận cùng bằng 9.  Suy ra \(6p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
nếu p có tận cùng là 9 thì \(p^2\) có tận cùng bằng 1.  Suy ra \(4p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
vậy p = 5 là giá trị cần tìm.

Another way !!!

Ta có

\(4p^2+1=5p^2+\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

\(4\left(6p^2+1\right)=25p^2+\left(p-2\right)\left(p+2\right)\)

Nếu p chia 5 dư 4 hoặc dư 1 thì \(4p^2+1⋮5\)

\(\Rightarrow4p^2+1\) không là số nguyên tố vì luôn lớn hơn 5

Nếu p chia 5 dư 3 hoặc dư 2 thì \(4\left(6p^2+1\right)⋮5\Rightarrow6p^2+1⋮5\) vì \(\left(4;5\right)=1\)

\(\Rightarrow6p^2+1\) không là số nguyên tố vì luôn lớn hơn 5

Khi đó p chia hết cho 5 mà p là số nguyên tố nên p=5 

* p = 2 thì 4p^2 + 1 = 25 không là SNT

* p = 3 thì 6p^2 + 1 = 55 không là SNT

* p = 5 thì 4p^2 + 1=101 và 6p^2 + 1 = 151 là SNT

Vậy p = 5 thỏa điều kiện đề bài.

* P > 5 => p = 5k ±1, hoặc p = 5k ± 2.

Khi: p = 5k ± 1thì

4p^2 + 1 = 4(25k^2 ± 10k + 1) + 1= 4.25k^2 ± 4.10k + 5 > 5 và chia hết cho 5

Khi p = 5k ± 2 thì:

6k^2 + 1 =6(25k^2 ± 10k + 4) + 1 = 6.25k^2 ± 6.10k + 25 > 5 và chia hết cho 5

Vậy khi p>5 thì 4p^2+1 và 6p^2+1 không đồng thời là SNT.

=> p = 5 là SNT cần tìm.

+) Với \(p=2\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}24.2^2+1=97\\3.2+1=7\end{cases}}\)

Vì \(97\) và \(7\) là các số nguyên tố nên \(p=2\)  (thỏa mãn)

+) Với \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 2, suy ra \(p\) có dạng \(2k+1\) với k là số tự nhiên khác 0

\(\Rightarrow3p+1=3.\left(2k+1\right)+1=6k+3+1=6k+4⋮2\)

Mà \(k\) lớn hơn 0 nên \(6k+4>2\) nên \(3p+1\) là hợp số (loại)

Vậy \(p=2\).

p = 2. Vì 2 + 11 = 13 mà 13 là số nguyên tố. Và ngoài số 2 ra, không có số nguyên tố nào là số chẵn mà số 11 khi công với các số lẻ sẽ thành số chẵn.

p = 3; 5; 7; 11; ...( tất cả các số nguyên tố khác 2 )

Xong rùi đó. Chúc bạn học tốt! Nhớ k cho mình nha!

Đặt a=m+n=x−y với m;n;x;y ∈N ; m⩾n và x>y.
Ta có p là tổng của hai số nguyên tố nên a>3⇒a lẻ.
Ta lại có a=m+n và a lẻ nên m hoặc n = 2.
Thử từng trường hợp ta có n=2.
Ta cũng có a=x−y⇒x>a⇒y=2 ⇒m,a,x là ba số nguyên tố lẻ liên tiếp mà chỉ có 3 số là 3,5,7 là phù hợp.
⇒a=3+2=7−2=5
Vậy a=5. 

Bài 1:

Nếu p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 không là số nguyên tố

2 + 4 = 6 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 không thỏa mãn

Nếu p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5 là số nguyên tố

3 + 4 = 7 là số nguyên tố

Vậy p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 

Khi p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) không là số nguyên tố

Vậy p = 3k + 1 không thỏa mãn

Khi p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố

Vậy p = 3k + 2 không thỏa mãn

Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất.

Bài 2:

Khi ta xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 thì chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3

p là số nguyên tố; p > 3 nên p không chia hết cho 3 => 4p không chia hết cho 3

Ta thấy 2p + 1 là số nguyên tố; p > 3 => 2p + 1 > 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 => 2(2p + 1) không chia hết cho 3 -> 4p + 2 không chia hết cho 3

Vì thế 4p + 1 phải chia hết cho 3

Mà p > 3 nên 4p + 1 > 3

=> 4p + 1 không là số nguyên tố. 4p + 1 là hợp số.

Bài 3:

a) Nếu p = 2 thì p + 4 = 2 + 4 = 6 không là số nguyên tố

p + 8 = 2 + 8 = 10 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 không thỏa mãn

 Nếu p = 3 thì p + 4 = 3 + 4 = 7 là số nguyên tố

p + 8 = 3 + 8 = 11 là số nguyên tố

Vậy p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) không là số nguyên tố

p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố

Vậy p > 3 không thỏa mãn

Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất