Ta có \(\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

Tương tự => \(M=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2z+zx}{\left(1+x\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2x+xy}{\left(1+x\right)\left(y+1\right)}\)

=> \(M=\frac{\left(1+2y+yz\right)\left(1+x\right)+\left(1+2z+zx\right)\left(1+y\right)+\left(1+2x+xy\right)\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

=>\(M=\frac{6+3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+xz\right)}{2+\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+xz\right)}=3\)

Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!

Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)

Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0

Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)

Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)

Vậy...

P/s: Ko chắc nha!

dit me may 

bạn bui thai hoc sao lại cmt linh tinh vậy :)) bạn ko có học thức à :> mà ý bạn cmt như vậy là sao hả ? 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+zx}\)

\(M\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)

và \(\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=21\)

\(\Rightarrow M\ge9+21=30\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:

\(M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

\(\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{7}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=30\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=¹/₃

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3.y^3}=3xy\Rightarrow\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{3xy}\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}\)

Tương tự:\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3yz}}{yz};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3zx}}{zx}\)

Công vế với vế của 3 BĐT trên ta đươc:

\(P\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}+\frac{\sqrt{3yz}}{yz}+\frac{\sqrt{3zx}}{zx}=\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)\) \(=\sqrt{3}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge3\sqrt{3}\)

Dấu '='xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy \(P_{min}=3\sqrt{3}\)khi \(x=y=z=1\)

:))

\(xy+yz+zx-xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\)

\(=\left(1-x\right)-y\left(1-x\right)-z\left(1-x\right)+yz\left(1-x\right)\)

\(=\left(1-x\right)\left(1-y-z+yz\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

\(xy+yz+zx+xyz+2=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz\)

\(=\left(1+x\right)+y\left(1+x\right)+z\left(1+x\right)+yz\left(1+x\right)\)

\(=\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)

\(1+x+y+z=1+1\Rightarrow1+x=\left(1-y\right)+\left(1-z\right)\ge2\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\)

Tương tự ta cũng có: \(1+y\ge2\sqrt{\left(1-z\right)\left(1-x\right)}\)

\(1+z\ge2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\)

Vậy \(S\le\frac{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}{8\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\frac{1}{8}\)

đáp án

chia cả 2 vế của giả thiết cho xyz rồi đặt 1/x ; 1/y ; 1/z => a ; b ; c

đến đây thì tự làm tiếp đi 

\(x+y+z=7\Rightarrow z=7-x-y\Rightarrow xy+z-6=xy+7-x-y-6=xy-x-y+1\)

\(=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)

Tương tự: \(yz+x-6=\left(y-1\right)\left(z-1\right);zx+y-6=\left(z-1\right)\left(x-1\right)\)

Viết lại: \(H=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}+\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{x-1+y-1+z-1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=\frac{x+y+z-3}{xyz-\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z-1}\)

\(=\frac{7-3}{3-13+7-1}=-1\)(Từ gt tính được \(xy+yz+zx=13\))

Ta có :

\(xy+yz+zx\)= \(\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2}{2}\)= \(\frac{7^2-23}{2}\)= \(13\)

Ta lại có :

\(xy+z-6=xy+z+1-x-y-z\)= \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)

\(\Rightarrow A=\)\(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)\(+\)\(\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\)\(+\)\(\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)

\(=\)\(\frac{x+y+z-3}{xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1}\)

\(=-1\)