a: ta có:ABCD là hình bình hành

=>AB//CD và AB=CD

Ta có: AB//CD

C\(\in\)DE

Do đó: AB//CE

Ta có: AB=CD

CD=CE

Do đó: AB=CE

Xét tứ giác ABEC có

AB//EC

AB=EC

Do đó: ABEC là hình bình hành

b: Ta có: ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD và AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>M là trung điểm chung của BD và AC

Ta có: BD=AC

AC=BE(ABEC là hình bình hành)

Do đó: BD=BE

=>\(\widehat{BDE}=\widehat{BED}\)

Xét ΔBDE có

M,N lần lượt là trung điểm của BD,BE

=>MN là đường trung bình của ΔBDE

=>MN//DE và MN=1/2DE

Xét tứ giác DMNE có MN//DE

nên DMNE là hình thang

Hình thang DMNE có \(\widehat{MDE}=\widehat{NED}\)

nên DMNE là hình thang cân

c: Ta có: MN//DE

BC\(\perp\)DE tại C

Do đó:BC\(\perp\)MN

Xét ΔBDE có

C,M lần lượt là trung điểm của DE,DB

=>CM là đường trung bình của ΔBDE

=>CM//BE và CM=BE/2

Ta có: CM//BE

N\(\in\)BE

Do đó: CM//BN

Ta có: CM=BE/2

BN=BE/2

Do đó: CM=BN

Xét tứ giác BMCN có

CM//BN

CM=BN

Do đó: BMCN là hình bình hành

Hình bình hành BMCN có BC\(\perp\)MN

nên BMCN là hình thoi

d: F đối xứng E qua B

=>B là trung điểmcủa FE

Xét ΔFDE có

DB là đường trung tuyến

DB=FE/2

Do đó: ΔFDE vuông tại D

=>FD\(\perp\)DE

mà AD\(\perp\)DE

và FD,AD có điểm chung là D

nên F,A,D thẳng hàng

Xét ΔFDE có

B là trung điểm của FE

BA//DE

Do đó: A là trung điểm của FD

Ta có: BA\(\perp\)FD tại A

A là trung điểm của FD

Do đó: BA là đường trung trực của FD

=>F đối xứng D qua AB

1: Xét tứ giác ABCD có 

M là trung điểm của AC

M là trung điểm của BD

Do đó: ABCD là hình bình hành

Ta có: ABCD là hình bình hành nên AB //= CD, AD//=BC.

+ E đối xứng với D qua A

⇒ AE = AD

Mà BC = AD

⇒ BC = AE.

Lại có BC // AE (vì BC // AD ≡ AE)

⇒ AEBC là hình bình hành

⇒ EB //= AC (1).

+ F đối xứng với D qua C

⇒ CF = CD

Mà AB = CD

⇒ AB = CF

Mà AB // CF (vì AB // CD ≡ CF)

⇒ ABFC là hình bình hành

⇒ AC //= BF (2)

Từ (1) và (2) suy ra E, B, F thẳng hàng và BE = BF

⇒ B là trung điểm EF

⇒ E đối xứng với F qua B

Giải :

Ta có: ABCD là hình bình hành nên AB //= CD, AD//=BC.

+ E đối xứng với D qua A

⇒ AE = AD

Mà BC = AD

⇒ BC = AE.

Lại có BC // AE (vì BC // AD ≡ AE)

⇒ AEBC là hình bình hành

⇒ EB //= AC (1).

+ F đối xứng với D qua C

⇒ CF = CD

Mà AB = CD

⇒ AB = CF

Mà AB // CF (vì AB // CD ≡ CF)

⇒ ABFC là hình bình hành

⇒ AC //= BF (2)

Từ (1) và (2) suy ra E, B, F thẳng hàng và BE = BF

⇒ B là trung điểm EF

⇒ E đối xứng với F qua B

Bài giải:

AE // BC (vì AD // BC)

AE = BC (cùng bằng AD)

nên ACBE là hình bình hành.

Suy ra: BE // AC, BE = AC (1)

Tương tự BF // AC, BF = AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra E, B, F thẳng hàng và BE = BF. Nên B là trung điểm của EF, vậy E đối xứng với F qua B.

AC là đường trung bình của tam giác Δ DEF

⇒ AC = 1/2EF

+ ABCD là hình bình hành

Mà DC = CF ⇒ AB = 1/2DF.

⇒ AB là đường trung bình của Δ DEF

Do đó B là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua B.

  Giải :

AE = AD; AD = BC nên AE = BC(1) 
DC = AB; DC = CF nên AB = CF (2) 
GÓC EAB = BCF (Đồng vị) (3) 
Từ (1); (2); (3) -> tgiac EAB = BCF (cgc) -> EB = BF (*) 
Mặt khác: GÓC EBA = EFD (đồng vị); ABC = ADC (gt); CBF = AEB (đồng vị) 
Cộng vế với vế: EBA + ABC + CBF = EFD + ADC + AEB 
Mà EFD + ADC + AEB = 180 độ -> EBA + ABC + CBF = 180 độ (**) 
Từ (*); (**) suy ra điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B.

Theo giả thiết ta có:

+ A là trung điểm của DE thì AD = AE       ( 1 )

+ C là trung điểm của DF thì CD = CF       ( 2 )

Ta có ABCD là hình bình hành nên AD//BC

⇒ AE//BC       ( 3 ) và AD = BC       ( 4 )

Từ ( 1 ), ( 4 ) ⇒ AE = BC       ( 5 )

Từ ( 3 ) và ( 5 ), tứ giác ACBE có cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Áp dụng tính chất và định nghĩa về hình bình hành ACBE ta được 

Chứng minh tương tự, tứ giác ACBF là hình bình hành

Ta được:

Từ ( 6 ), ( 7 ) ⇒ E, B, F thẳng hàng và BE = BF do đó B là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua B.