1: Xét ΔAHD có 

AN là đường cao

AN là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHD cân tại A

mà AN là đường cao

nên AN là đường phân giác(1)

Xét ΔAHE có 

AM là đường cao

AM là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHE cân tại A

mà AM là đường cao

nên AM là đường phân giác(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAE}=2\cdot\left(\widehat{MAH}+\widehat{NAH}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

2: Xét ΔHED có 

M là trung điểm của HE

N là trung điểm của HD

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//ED

1: Xét ΔAHE có 

AM là đường cao

AM là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHE cân tại A

mà AM là đường cao

nên AM là đường phân giác(1)

Xét ΔAHD có 
AN là đường cao

AN là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHD cân tại A

mà AN là đường cao

nên AN là đường phân giác(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAE}=2\cdot\left(\widehat{MAH}+\widehat{NAH}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

hay D,A,E thẳng hàng

2: Xét ΔHED có 

M là trung điểm của HE

N là trung điểm của HD

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//ED

4: Ta có: AH=AD

mà AH=AE

nên AD=AE=AH

a) Xét ΔDAN,ΔHANΔDAN,ΔHAN có :

HN=ND(gt)HN=ND(gt)

ANDˆ=ANHˆ(=90O)AND^=ANH^(=90O)

AN:ChungAN:Chung

=> ΔDAN=ΔHAN(c.g.c)ΔDAN=ΔHAN(c.g.c)

b) Xét ΔAMH,ΔAMEΔAMH,ΔAME có :

HM=ME(gt)HM=ME(gt)

AMHˆ=AMEˆ(=90o)AMH^=AME^(=90o)

AM:ChungAM:Chung

=> ΔAMH=ΔAME(c.g.c)ΔAMH=ΔAME(c.g.c)

Xét tứ giác ANHM có :

Nˆ=90O(HN⊥AB)N^=90O(HN⊥AB)

Aˆ=90O(ΔABC⊥A)A^=90O(ΔABC⊥A)

Mˆ=90O(HM⊥AC)M^=90O(HM⊥AC)

=> Tứ giác ANHM là hình chữ nhật

=> {NH=AMNA=HM{NH=AMNA=HM (tính chất hình chữ nhật)

Ta dễ dàng chứng minh được : ΔANH=ΔAMH(c.c.c)ΔANH=ΔAMH(c.c.c)

Mà : {ΔAND=ΔANHΔAHM=ΔAEM(cmt){ΔAND=ΔANHΔAHM=ΔAEM(cmt)

Suy ra : ΔAND=ΔAMEΔAND=ΔAME

=> DA=AEDA=AE(2 cạnh tương ứng) (*)

c) Từ (*) => A là trung điểm của DE

Do đó : D,A,E thẳng hàng (đpcm)

Ta có : HN vuông góc với AB (gt)

            AB vuông góc với AC (gt)

Do đó HN//AC ( quan hệ giữa tính vuông góc với song song )

=> Góc H₁ = góc A₂   ( 2 góc so le trong )

Xét tam giác HAN vuông tại N và tam giác HAM vuông tại M có:

HA là cạnh chung

Góc H₁ = góc A₂  ( cmt )

Do đó tam giác HAN = tam giác AHM ( cạnh huyền,góc nhọn )

=> AN=HM ( 2 cạnh tương ứng )

Mà HM= ME (gt)

=> AN = ME

Xét tam giác NAM vuông tại A và tam AME vuông tại M có :

AM là cạnh chung

AN=ME (cmt)

Do đó tam giác NAM = EMA ( 2 cạnh góc vuông )

=> Góc M₁ = góc A₁  ( 2 góc tương ứng )

Mà hai góc này ở vị trị so le trong do AM cắt MN, DE

Do đó MN//DE ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )

Xong ! 

Xét tứ giác ANHM có \(\widehat{NAM}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^o\)

\(\Rightarrow\)ANHM là hình chữ nhật \(\Rightarrow NH=AM\)

Xét \(\Delta NHM\)và \(\Delta AME\)có: 

+) \(NH=AM\)

+) \(\widehat{NHM}=\widehat{AME}=90^o\)

+) \(MH=ME\)

\(\Rightarrow\Delta NHM=\Delta AME\left(c-g-c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{NMH}=\widehat{MEA}\)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong \(\Rightarrow NM//AE\)(1)

Ta có: AB là đường trung trực của HD \(\Rightarrow\Delta AHD\)cân tại A

mà AN là đường cao \(\Rightarrow\)AN là phân giác \(\widehat{DAH}\)

Tương tự ta có: AM là phân giác \(\widehat{HAE}\)

mà \(AN\perp AM\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=\widehat{DAE}=180^o\)( Phân giác của 2 góc kề bù vuông góc với nhau )

\(\Rightarrow\)D,A,E thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MN//DE\)

câu a mình đã làm đc r các bạn giúp mấy câu sau nhé

a: Xét ΔAHD có 

AN là đường cao

AN là đường trung tuyến

Do đó:ΔAHD cân tại A

mà AB là đường trung tuyến

nên AB là tia phân giác của góc HAD(1)

Xét ΔAHE có 

AM là đường cao

AM là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHE cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là tia phân giác của góc HAE(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAE}=2\cdot\left(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

hay D,A,E thẳng hàng

b: Xét ΔHED có

M là trung điểm của HE

N là trung điểm của HD

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//ED

d: Xét ΔDHE có 

HA là đường trung tuyến

HA=DE/2

Do đó:ΔDHE vuông tại H