Cho $x,y,z\geq 1$.
Chứng minh $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^3+1}\geq \frac{3}{xyz+1}$
Mn help e với ạ !
Bài 1: Chứng minh rằng (x, y, z > 0)
Bài 2: Cho a + b + c > 0; abc > 0; ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0.
Bài 3: Chứng minh rằng (a, b, c > 0)
Bài 4: Chứng minh rằng (a + b) (b + c) (c + a) 8abc (a, b, c
0)
Bài 5: Chứng minh rằng (a, b, c, d
0)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn .
Chứng minh .
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) ab.
Bài 8: Cho x, y, z > 0; x+y+z = 1. Chứng minh rằng .
Bài 9: Cho 2 số có tổng không đổi. Chứng minh rằng tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
bài 1 \(\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2\ge2\times\frac{x}{y}\times\frac{y}{z}=2\frac{x}{z}\)
làm tương tự rồi cộng các vế các bất đẳng thức lại với nhau ta có dpcm ( cộng xong bạn đặt 2 ra ngoài ý, mk ngại viết nhiều hhehe)
Bài 1: Chứng minh rằng (x, y, z > 0)
Bài 2: Cho a + b + c > 0; abc > 0; ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0.
Bài 3: Chứng minh rằng (a, b, c > 0)
Bài 4: Chứng minh rằng (a + b) (b + c) (c + a) 8abc (a, b, c
0)
Bài 5: Chứng minh rằng (a, b, c, d
0)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn .
Chứng minh .
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) ab.
Bài 8: Cho x, y, z > 0; x+y+z = 1. Chứng minh rằng .
Bài 9: Cho 2 số có tổng không đổi. Chứng minh rằng tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng .
Bài 3:
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\) có:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)-3\)
\(=\dfrac{9}{2}-3=1,5\)
Dấu " = " khi a = b = c
Bài 5:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ab+2cd\ge4\sqrt{abcd}\)
Dấu " = " khi a = b = c = d = 1
7) VP phải là abc nha
\(\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\)
\(\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\)
\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\)
Nhân từng vế của 3 BĐT trên
\(\left[VT\right]^2\le VP^2\)
Các biểu thức trong ngoặc vuông đều dương nên khai phương ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
2) Giả sử \(a\le0\):
Nếu a=0 thì trái với abc>0
Nếu a<0: Do a+b+c>0 nên b+c>0. Do abc>0 nên bc<0
Suy ra a(b+c)+bc<0, mâu thuẫn với ab+bc+ca>0
Vậy a>0
Tương tự ta có b>0;c>0
Cho x,y,z khác 0 thoả \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
Chứng minh rằng \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
cần gấp ạ, thanks mn
Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\Rightarrow xy+yz+zx=0\left(1\right)\)
Đặt xy=a ; yz=b ; xz =c
=> \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3}{\left(xyz\right)^3}\)
Xét \(\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3=a^3+b^3+c^3\)
mà \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc+3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3abc+3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3abc\left(a+b+c\right)+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)+3abc\)
Mà ta có \(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
=> \(\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3=3\left(xyz\right)^2\)
=> \(\frac{\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3}{\left(xyz\right)^3}=\frac{3\left(xyz\right)^2}{\left(xyz\right)^3}=\frac{3}{xyz}\left(dpcm\right)\)
Bạn rút gọn vài bước đi nhé :3 mk trình bày ko hay cho lắm :3 nhớ k giùm mk nha :3
Cho x,y,z là các số dương và x+y+z \(\le\)1.Chứng minh:
Áp dụng BĐT Mincopxki và AM-GM ta có:
\(P=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\dfrac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y+z\right)^2\cdot\dfrac{1}{\left(x+y+z\right)^2}}+80}\)
\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
[TEX]xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(6-2x)(6-2y)(6-2z) \\ =216-72(x+y+z)+24(xy+yz+zx)-8xyz=24(xy+yz+xz)-8xyz-216 \\ \Rightarrow 9xyz\geq 24(xy+yz+xz)-216 \\ \Rightarrow xyz\geq \frac{8}{3}(xy+yz+xz)-24 \\ \Rightarrow x^{2}+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz\geq x^{2}+y^2+z^2+\frac{5}{3}(xy+yz+zx)-24 \\ \Leftrightarrow (x+y+z)^{2}-\frac{1}{3}( xy+yz+zx)-24\geq (x+y+z)^{2}-24-\frac{1}{9}(x+y+z)^{2}=8[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]x=y=z=2[/TEX]
Cho thỏa mãn
Chứng minh
Bạn ơi đây đâu phải toán lớp 9.
Cho gì vậy bạn.
Chứng minh cái gì .
Bạn đăng rõ câu hỏi đi chứ !!!
nhìn là biết
+Ryan Park đăng lên để trêu :D
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang webI. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang webI. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang webI. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang webI. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web
cho x,y,z>0 với xy+yz+zx=3
Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+x^2\left(y+z\right)}+\frac{1}{1+y^2\left(x+z\right)}+\frac{1}{1+z^2\left(y+x\right)}\le\frac{1}{xyz}\)
Cho 3 số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xyz}\)
Ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{xy}\)
Tương tự: \(\frac{1}{y^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{yz}\) ;\(\frac{1}{z^3+x^3+xyz}\le\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{zx}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{z^3+x^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{x+y+z}.\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)xyz}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu \(=\) xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z>0\)
Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xyz}\)
AD BĐT X^3+Y^3>=XY(X+Y) LÀ RA
Có BĐT phụ:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Áp dụng
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{1}{xyz}\)