Đáp án C

Ta có:  u n > 0   ∀ n ≥ 1

u n + 1 u n = n 2 + n + 1 ( n + 1 ) 2 + ( n + 1 ) + 1 = n 2 + n + 1 n 2 + 3 n + 3 < 1   ∀ n ∈ ℕ *

⇒ u n + 1 < u n   ∀ ≥ 1 ⇒  dãy ( u n )  là dãy số giảm.

Mặt khác: 0 < u n < 1 ⇒  dãy ( u n )  là dãy bị chặn.

Chọn đáp án C

Chọn B.

Ta có:

⇒ u_n+1 > u_n ∀ n ≥ 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy số tăng.

u_n >  = n + 1 ≥ 2 ⇒ dãy (u_n) bị chặn dưới.

\(u_n=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)

\(=1-\dfrac{1}{n+1}< 1\)

=>Hàm số bị chặn trên tại \(u_n=1\)

\(n+1>=1\)

=>\(\dfrac{1}{n+1}< =1\)

=>\(-\dfrac{1}{n+1}>=-1\)

=>\(1-\dfrac{1}{n+1}>=-1+1=0\)

=>Hàm số bị chặn dưới tại 0

\(u_n=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)

\(\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{n}{n+1}:\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1}< 1\)

=>(un) là dãy số tăng

Rõ ràng u n > 0 , ∀ n ∈ ℕ *  nên ( u n ) bị chặn dưới.

Lại có: 1 k k + 1 = 1 k − 1 k + 1 .

 Suy ra u n = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + ... + 1 n − 1 n + 1 = 1 − 1 n + 1 < 1 , ∀ n ∈ ℕ * nên ( u n ) bị chặn trên.

Kết luận  ( u n )  bị chặn.

Chọn đáp án C.

Đáp án C

B ị   c h ặ n   t r ê n   v ì   u n   ≤   1 , ∀ n   ∈   N ∗ .

c)

\(u_n=\dfrac{1}{n+1}\Rightarrow u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}\)

\(\Rightarrow u_n-u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}< u_n\Rightarrow\) dãy giảm

Do \(\dfrac{1}{n+1}>0\Rightarrow\) dãy bị chặn dưới bởi 0

\(u_n-1=\dfrac{1}{n+1}-1=-\dfrac{n}{n+1}< 0\Rightarrow u_n< 1\)

\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn trên bởi 1

\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn