hình tự vẽ:

a)Vì BE là tpg của ^ABC(gt)

=>^ABE=^EBH(=^EBC)

Xét tam giác ABE vuông ở A và tam giác HBE vuông ở H có:

BE:cạnh chung

^ABE=^EBH(cmt)

=>tam giác ABE=tam giác HBE(ch-gn)

b)Vì tam giác ABE=tam giác HBE(cmt)

=>AB=HB(cặp cạnh t.ư)

Xét tam giác ABH có:AB=HB(cmt)

=>tam giác ABH cân ở B(DHNB0

Xét tam giác ABH cân ở B có:AE là tpg của ^ABH(vì AE là tpg của ^ABC)

=>BE là đg trung trực của AH (t/c tam giác cân)

c)Vì tam giác ABE=tam giác HBE(cmt)

=>AE=HE(cặp cạnh t.ư)

Ta có:EC>EH (trong tam giác vuông,cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Mà AE=HE(cmt)

=>EC>AE

ko bt

a, Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta HBE\)có : 

 \(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}=90^o\)(gt) 

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)\(\left(\text{vì BE là tia phân giác }\widehat{ABC}\right)\)

\(BE\)\(\text{là cạnh huyền chung }\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABE\)= \(\Delta HBE\) \(\left(ch+gn\right)\)

Vì   \(\Delta ABE=\text{​​}\text{​​}\Delta HBE\)(câu a)

=> \(AB=HB\)(2 cạnh tương ứng)  

    \(AE=HE\) (2 cạnh tương ứng) 

=> BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH 

c,   

XÉt \(\Delta EHC\)\(\text{vuông tại H }\)có \(\widehat{EHC}\)là góc lớn nhất 

=> EC là cạnh lớn nhất 

=> EC > EH 

mà EH = AE (câu b) 

=> EC > AE 

a) Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có 

\(\widehat{ACH}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHAC(g-g)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được:

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(\Leftrightarrow HC^2=AC^2-AH^2=30^2-24^2=324\)

hay HC=18(cm)

Ta có: ΔABC∼ΔHAC(cmt)

nên \(\dfrac{AB}{HA}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AC}{HC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{24}=\dfrac{BC}{30}=\dfrac{30}{18}=\dfrac{5}{3}\)

Suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AB}{24}=\dfrac{5}{3}\\\dfrac{BC}{30}=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=40\left(cm\right)\\BC=50\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: HC=18cm; AB=40cm; BC=50cm

c) Xét ΔAHM vuông tại M và ΔABH vuông tại H có 

\(\widehat{HAM}\) chung

Do đó: ΔAHM\(\sim\)ΔABH(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AM}{AH}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AH^2=AM\cdot AB\)(1)

Xét ΔAHN vuông tại N và ΔACH vuông tại H có 

\(\widehat{NAH}\) chung

Do đó: ΔAHN\(\sim\)ΔACH(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AN}{AH}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AH^2=AN\cdot AC\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

hay \(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có 

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)(cmt)

Do đó: ΔAMN\(\sim\)ΔACB(c-g-c)