1, Cho các số nguyên a,b,c. Chứng minh rằng I 2a-5bI + I 3b - 7c I +I c- 6a I LUÔN LÀ SỐ CHẴN
2, Chứng minh rằng nếu các số a,b,c,d,e thoả mãn điều kiện I a-b I = Ib-c I = Ic-d I = I d-e I = I e-a I thì a=b=c=d=e. HÃY TỔNG QUÁT BÀI TOÁN
Hỏi nhanh 3 phút thôi nha :
a) 967 + 4 = a, a có phải là số nguyên tố không ?
b) 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = b, b có phải là số nguyên tố không ?
c) 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 = c, c có phải là số nguyên tố không ?
d) Tổng các số nguyên tố < 100 = d, d có phải là số nguyên tố không ?
e) Tích các số nguyên tố < 10 = e, tìm Ư(e) và tìm BCNN(e; d)
f) Tổng hợp : Tìm BCNN(a; b; c; d; e)
Cần gấp lắm, mong các bạn làm nhanh !
cho a,b,c,d,e nguyên dương biết a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 chia hết cho 2. cmr a+b+c+d+e là hợp số
Xét a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-(a+b+c+d+e)
\(=\) a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 -a-b-c-d-e
\(=\)a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1)
Ta có: a, a-1 là 2 số liên tiếp nên tích chúng chi hết cho 2
tương tự b,c,d,e cũng vậy
\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)⋮2\\b\left(b-1\right)⋮2\\c\left(c-1\right)⋮2\\d\left(d-1\right)⋮2\end{matrix}\right.\Rightarrow\)a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1) \(⋮\)2
\(\Rightarrow\)a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-(a+b+c+d+e) \(⋮\)2
mà a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \(⋮\)2
\(\Rightarrow\)a+b+c+d+e \(⋮\)2
mà a,b,c,d,e nguyên dương
\(\Rightarrow\)a+b+c+d+e>2
\(\Rightarrow\)a+b+c+d+e là hợp số
Lưu ý: muốn chứng minh là hợp số phải chứng minh nó chia hết cho 1 số(không phải số nguyên tố)
còn nếu nó chia hết cho 1 số nguyên tố thì phải lớn hơn số nguyên tố đó
nên sau khi c/m a+b+c+d+e \(⋮\)2 , chúng ta phải c/m a+b+c+d+e>2. chứ lở nó bằng hai thì ko phải hợp số
Bài 1 : Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn : a + b = c + d
CMR : M = \(a^2+b^2+c^2+d^2\) luôn là tổng của 3 SCP |
Bài 2 : Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác thỏa mãn
(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc
Mong mọi người giúp mình , mình cần rất gấp .
Câu 2 (Bổ Sung) : Chứng minh tam giác đã cho là tam giác đều
Cho các số a, b, c, d, e, g là các số nguyên sao cho a2+b2+c2+d2+e2=g2. Chứng tỏ tích abcdeg là số chẵn.
Cho phản ứng: a Fe + b HNO3 → c Fe(NO3)3 + d NO + e H2O
Các hệ số a, b, c, d, e là những số nguyên, đơn giản nhất. Tổng (a + b) bằng:
A. 5
B. 4
C. 3
D. 6
Đáp án A
Fe + 4HNO3 → Fe(NO3)3 + NO + 2H2O
→ a + b = 5
Cho phản ứng: a Fe + b HNO3 → c Fe(NO3)3 + d NO + e H2O
Các hệ số a, b, c, d, e là những số nguyên, đơn giản nhất. Tổng (a + b) bằng:
A. 5
B. 4
C. 3
D. 6
Cho các số nguyên dương a,b,c,d,e,g thoả mãn a2 + b2 + c2 = d2 + e2 + g2. Hỏi tổng a+b+c+d+e+g là hợp số hay số nguyên tố ?
Xét hiệu\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)-\left(a+b+c+d+e\right)=\)
Xét : \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+g^2\right)+\left(a+b+c+d+e+g\right)\)
\(=\left(a^2+a\right)+\left(b^2+b\right)+\left(c^2+c\right)+\left(d^2+d\right)+\left(e^2+e\right)+\left(g^2+g\right)\)
\(=a.\left(a+1\right)+b.\left(b+1\right)+c.\left(c+1\right)+d.\left(d+1\right)+e.\left(e+1\right)+g.\left(g+1\right)\)
Ta có :\(a.\left(a+1\right);b.\left(b+1\right);c.\left(c+1\right);d.\left(d+1\right);e.\left(e+1\right);g.\left(g+1\right)\) là tích của hai số nguyên dương liên tiếp .Do đó chúng chia hết cho \(2\)
\(\implies\) \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+g^2\right)+\left(a+b+c+d+e+g\right)\) chia hết cho \(2\)
Mà : \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+g^2=2.\left(d^2+e^2+g^2\right)\) chia hết cho \(2\)
\(\implies\) \(a+b+c+d+e+g\) chia hết cho \(2\)
Mà : \(a+b+c+d+e+g\) \(\geq\) \(6\) \(\implies\) \(a+b+c+d+e+g\) là hợp số
a, CMR với mọi số nguyên n không chia hết cho 5 thì \(n^4-1\) chia hết cho 5
b, Tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c ,d, e tm \(a^4+b^4+c^4+d^4+e^4=abcde\)
c, Tìm các số nguyênduwongc a,b tm \(a\left(ab+1\right)⋮a^2+b\) và \(b\left(ab+1\right)⋮b^2-a\)
Đề HSG Nghệ An ak bạn
P = \(n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
P \(⋮5\Leftrightarrow Q=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)
mà n không chia hết cho 5 => có dạng n = 5k + 1 ;5k + 2 ; 5k + 3 ;5k + 4 (k \(\in Z\))
Khi n = 5k + 1 => n - 1 \(⋮5\Rightarrow Q⋮5\Rightarrow P⋮5\)
tương tự với n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 thì Q \(⋮5\Rightarrow P⋮5\)
b.
Điều duy nhất cần chú ý trong bài toán này: \(n^4\equiv1\left(mod5\right)\) với mọi số nguyên n ko chia hết cho 5
Do đó:
- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều ko chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5, vế phải ko chia hết cho 5 (ktm)
- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều chia hết cho 5 thì do chúng là số nguyên tố
\(\Rightarrow a=b=c=d=e=5\)
Thay vào thỏa mãn
- Nếu có k số (với \(1\le k\le4\)) trong các số a;b;c;d;e chia hết cho 5, thì vế phải chia hết cho 5, vế phải chia 5 dư \(5-k\ne\left\{0;5\right\}\) nên ko chia hết cho 5 \(\Rightarrow\) ktm
Vậy \(\left(a;b;c;d;e\right)=\left(5;5;5;5;5\right)\) là bộ nghiệm nguyên tố duy nhất