Gọi d=ƯCLN(2n+1;2n^2-1)

=>2n+1 chia hết cho d và 2n^2-1 chia hết cho d

=>2n^2+n chia hết cho d và 2n^2-1 chia hết cho d

=>n+1 chia hết cho d và 2n+1 chia hết cho d

=>2n+2 chia hết cho d và 2n+1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>2n+1 và 2n^2-1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

gọi d \(\in\)BC ( 2n + 1, 6n + 5 ) thì 2n + 1 \(⋮\)d ; 6n + 5 \(⋮\)d

Do đó ( 6n + 5 ) - 3 . ( 2n + 1 ) \(⋮\)d \(\Rightarrow\)2 \(⋮\)d \(\Rightarrow\)d \(\in\){ 1 ; 2 }

d là ước của số lẻ 2n + 1 nên d \(\ne\)2 

Vậy d = 1 

Do đó ( 2n + 1 ; 6n + 5 ) = 1

chu pa pi mu nhà nhố

Gọi d = ƯCLN(2n + 1; 2n + 3) (d thuộc N*)

=> 2n + 1 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d

=> (2n + 3) - (2n + 1) chia hết cho d

=> 2n + 2 - 2n - 1 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

Mà 2n + 1 lẻ => d lẻ => d = 1

=> ƯCLN(2n + 1; 2n + 3) = 1

Chứng tỏ ...

Chứng tỏ rằng (2n+1) và (2n+3) là cặp số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

Gọi d = ƯCLN(2n + 1; 2n + 3) (d thuộc N*)

=> 2n + 1 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

Mà 2n + 1 lẻ => d lẻ => d = 1

=> ƯCLN(2n + 1; 2n + 3) = 1

CHứng tỏ

gọi  d lkaf ucln

Vì 2n+1 và 2n+3 là số lẻ nên \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮̸2\\2n+3⋮̸2\end{matrix}\right.\)(1)

Gọi d là ƯCLN(2n+1,2n+3)(2)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2n+1-2n-3⋮d\Leftrightarrow-2⋮d\)(3)

Từ (1) và (2) suy ra \(d\notin\left\{2;-2\right\}\)

Từ (3) suy ra \(d\inƯ\left(-2\right)\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

mà \(d\notin\left\{2;-2\right\}\)

nên d=1

hay ƯCLN(2n+1;2n+3)=1

⇔2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau(đpcm)

Gọi d = ƯCLN(2n + 1; 2n + 3) (d ϵ N^* )

→ 2n + 1 ⋮ d, 2n + 3 ⋮ d

→ (2n + 1) - (2n + 3)  ⋮ d

→ 2  ⋮ d

→ d ϵ Ư(2) = {1,2}

Mà, 2n + 3 là số lẻ 

→ d = 1

Vậy, 2n + 1 và 2n + 3 nguyên tố với nhau với mọi số tự nhiên n 

gọi d>0 là ước dung của 2n+1 và 6n+5

d là ước số 3(2n+1)=6n+3

(6n+5)_(6n+3)=2

suy ra d là ước của số lẻ :2n+1 suy ra d=1

vậy 2n+1 và 6n+5 là 2 nguyên tố cùng nhau

**** nhé Thanh Lộc thông minh

Gọi ƯCLN(2n+3;n+2)=d

Ta có: 2n+3 chia hết cho d;n+2 chia hết cho d

=>2n+3 chia hết cho d; 2(n+2)chia hết cho d

=> 2n+3 chia hết cho d;2n+4 chia hết cho d

=>[2n+4-(2n+3)]chia hết cho d

=>2n+4-2n-3 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d hay d=1=> ƯCLN(2n+3;n+2)=1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2 số sau 2n+3 và n+2 là số nguyên tố cùng nhau

Chúc bạn học tốt!^_^

Gọi ƯCLN(2n+1;3n+1)=a (a thuộc N*)

=> 2n+1 chia hết cho a; 3n+1 chia hết cho a

=> 3(2n+1) chia hết cho a; 2(3n+1) chia hết cho a

=> 6n+3 chia hết cho a; 6n+2 chia hết cho a

=> (6n+3)-(6n+2) chia hết cho a

=> (6n-6n)+(3-2) chia hết cho a

=> 1 chia hết cho a

=> a=1 

=> UWCLN(2n+1;3n+1)=1

=> 2n+1 và 3n+1 nguyên tố cùng nhau

Vậy với mọi n thì 2n+1 và 3n+1 nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN(2n+1;3n+1)=a (a thuộc N*)
=> 2n+1 chia hết cho a; 3n+1 chia hết cho a
=> 3(2n+1) chia hết cho a; 2(3n+1) chia hết cho a
=> 6n+3 chia hết cho a; 6n+2 chia hết cho a
=> (6n+3)-(6n+2) chia hết cho a
=> (6n-6n)+(3-2) chia hết cho a
=> 1 chia hết cho a
=> a=1
=> UWCLN(2n+1;3n+1)=1
=> 2n+1 và 3n+1 nguyên tố cùng nhau
Vậy với mọi n thì 2n+1 và 3n+1 nguyên tố cùng nhau

chúc bn hok tốt @_@

Gọi ƯCLN(2n+3;n+2)=d

Ta có: 2n+3 chia hết cho d;n+2 chia hết cho d

=>2n+3 chia hết cho d; 2(n+2)chia hết cho d

=> 2n+3 chia hết cho d;2n+4 chia hết cho d

=>[2n+4-(2n+3)]chia hết cho d

=>2n+4-2n-3 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d hay d=1=> ƯCLN(2n+3;n+2)=1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2 số sau 2n+3 và n+2 là số nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN(2n+3;n+2)=d

Ta có: 2n+3 chia hết cho d;n+2 chia hết cho d

=>2n+3 chia hết cho d; 2(n+2)chia hết cho d

=> 2n+3 chia hết cho d;2n+4 chia hết cho d

=>[2n+4-(2n+3)]chia hết cho d

=>2n+4-2n-3 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d hay d=1=> ƯCLN(2n+3;n+2)=1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2 số sau 2n+3 và n+2 là số nguyên tố cùng nhau

Chúc bạn học tốt!^_^

trong câu hỏi tương tự đó bn!!!!

787685999679