a: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

CA=CM

=>C nằm trên đường trung trực của AM(1)

OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM

=>OC\(\perp\)AM

b: Xét tứ giác CAOM có \(\widehat{CAO}+\widehat{CMO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CAOM là tứ giác nội tiếp

=>C,A,O,M cùng thuộc một đường tròn

c: Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc MOB và DM=DB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

=>ΔCOD vuông tại O

Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

mà MC=CA và DM=DB

nên \(CA\cdot DB=OM^2=R^2\)

trên CD lấy điểm N, kẻ MN vuông góc với CD

=> 2 tam giac vuông MBC=MNC

=> 2tam giác MAD=MND

=> MB=MN=MA = R

vậy CD là tiếp tuyến đường tròn tâm  M

c) Theo câu b: MC là tiếp tuyến của đường tròn (O), MB cũng là tiếp tuyến từ M đến (O)

=> MB = MC => \(\Delta\)BMC cân tại M. Ta có: MO là phân giác ^BMC 

=> MO cũng là đường trung trực của BC. Mà I thuộc MO => IB=IC (1)

Dễ có H là trung điểm của BC => HC=HB

CI vuông góc d; BO vuông góc d => CI // BO => ^HCI = ^HBO

Xét \(\Delta\)CHI & \(\Delta\)BHO: ^HCI = ^HBO; HC=HB; ^CHI = ^BHO (Đối đỉnh)

=> \(\Delta\)CHI = \(\Delta\)BHO (g.c.g) => IC = OB (2)

Từ (1) và (2) => IB = OB = R => Khoảng cách từ I đến B không đổi và luôn bằng R

Vậy khi M thay đổi trên d thì điểm I luôn thuộc đường tròn (B;R) cố định.

a:

Sửa đề: Chứng minh PO//NB

Xét (O) có

PA,PC là tiếp tuyến

Do đó: PA=PC

=>P nằm trên đường trung trực của AC(1)

OA=OC

=>O nằm trên trung trực của AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OP là đường trung trực của AC

=>OP\(\perp\)AC(3)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB(4)

Từ (3) và (4) suy ra CB//OP

b: NO\(\perp\)AB

AP\(\perp\)AB

Do đó: NO//AP

Xét ΔPAO vuông tại A và ΔNOB vuông tại O có

AO=OB

\(\widehat{POA}=\widehat{NBO}\)(hai góc đồng vị, PO//NB)

Do đó: ΔPAO=ΔNOB

=>PA=NO

Xét tứ giác PAON có

PA//NO

PA=NO

Do đó: PAON là hình bình hành

=>PN=OA

PN=OA

OA=OB

Do đó: PN=OB

PAON là hình bình hành

=>PN//OA

mà A\(\in\)OB

nên PN//OB

Xét tứ giác PNBO có

PN//OB

PO//NB

Do đó: PNBO là hình bình hành