Question

Cho \((O)\) đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ P ϵ Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai PC với (O) (C là tiếp điểm). Đường vuông góc với AB cắt BC ở N.

a. Chứng minh PO//NP

b. Tứ giác OPNB là hình gì? Vì sao?

Answer 1

a:

Sửa đề: Chứng minh PO//NB

Xét (O) có

PA,PC là tiếp tuyến

Do đó: PA=PC

=>P nằm trên đường trung trực của AC(1)

OA=OC

=>O nằm trên trung trực của AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OP là đường trung trực của AC

=>OP\(\perp\)AC(3)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB(4)

Từ (3) và (4) suy ra CB//OP

b: NO\(\perp\)AB

AP\(\perp\)AB

Do đó: NO//AP

Xét ΔPAO vuông tại A và ΔNOB vuông tại O có

AO=OB

\(\widehat{POA}=\widehat{NBO}\)(hai góc đồng vị, PO//NB)

Do đó: ΔPAO=ΔNOB

=>PA=NO

Xét tứ giác PAON có

PA//NO

PA=NO

Do đó: PAON là hình bình hành

=>PN=OA

PN=OA

OA=OB

Do đó: PN=OB

PAON là hình bình hành

=>PN//OA

mà A\(\in\)OB

nên PN//OB

Xét tứ giác PNBO có

PN//OB

PO//NB

Do đó: PNBO là hình bình hành