cho ba số nguyên theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Nếu tăng số hạng thứ hai thêm 9 đơn vị thì chúng lập thành cấp số cộng. Nếu tăng số hạng thứ hai thêm 2 đơn vị và số hạng thứ ba thêm 18 đơn vị thì chúng lập thành cấp số nhân. Tổng của ba số đó bằng
Cho biết một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào số hạng thứ 2 còn giữa nguyên số hạng thứ 3 thì ba số mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng năm số hạng đầu của cấp số nhân đó .
+ Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u1, công bội là x
Theo giả thiết ta có hệ phương trình
+ Tổng của năm số hạng đầu của CSN là:
Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2;3;9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.
Gọi 3 số cần tìm lần lượt là: \({u_{n - 1}},\;{u_n},\;{u_{n + 1}}\)
Theo tính chất của cấp số cộng ta có: \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
Mà đề bài: \({u_{n - 1}} + {u_n} + {u_{n + 1}} = 21\) suy ra \(3{u_n} = 21\;\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {u_n} = 7\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{n - 1}} = {u_n} - d = 7 - d\\{u_{n + 1}} = {u_n} + d = 7 + d\end{array} \right.\end{array}\)
Lần lượt cộng thêm các số 2, 3, 9 vào 3 số ta được: \({u_{n - 1}} + 2,\;{u_n} + 3,\;{u_{n + 1}} + 9\) hay \(9 - d,\;10,\;16 + d\)
Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {9 - d} \right)\left( {16 + d} \right) = {10^2}\\ \Leftrightarrow {d^2} + 7d - 44 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = - 11\\d = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy 3 số cần tìm là: 18; 7; -4 hoặc 3; 7; 11.
Cho bốn số nguyên biết rằng ba số hạng đầu lập thành mọt cấp số nhân, ba số hạng sau lập thành một cấp số cộng. Tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14, còn tổng hai số ở giữa bằng 12. Tổng của bốn số nguyên đó là?
A. 20
B. 22
C. 24
D. 26
Chọn D
Gọi 4 số phải tìm là a1, a2, a3, a4. Theo đầu bài Ta có hệ:
Giải các hệ phương trình Ta có kết quả a1=2, a2=4, a3=8 và a4=12
Chọn D
Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính F = x 2 + y 2 + z 2
A. F = 389 hoặc F = 179
B. F = 441 hoặc F = 357
C. F = 395 hoặc F = 179
D. F = 389 hoặc F = 395
Chọn A.
Phương pháp:
Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng
⇔ x + z - 2 y
Và số x, y, z lập thành một cấp số nhân ⇔ x z = y 2
Cách giải
Do 3 số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21 nên ta có
x + z = 2 y x + y + z = 21
⇔ x + z = 14 y = 7
⇔ x = 14 - z y = 7 ( 1 )
Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng)
thì được ba số lập thành một cấp số nhân nên ta có
( x + 2 ) ( z + 9 ) = ( y + 3 ) 2 ( 2 )
Thay (1) vào (2) ta có:
( 14 - z + 2 ) ( z + 9 ) = ( 7 + 3 ) 2
⇔ z 2 - 7 z - 44 = 0
⇔ z = 11 z = - 4
z = 11 ⇒ z = 14 - 11 = 3
⇒ F = x 2 + y 2 + z 2 = 179
z = - 4 ⇒ x = 14 - ( - 4 ) = 18
⇒ F = x 2 + y 2 + z 2 = 389
Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính F = x 2 + y 2 + z 2 .
A. F = 389 hoặc F = 179
B. F = 441 hoặc F = 357
C. F = 395 hoặc F = 179
D. F = 389 hoặc F = 395
Chọn A.
Phương pháp:
Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng
Cách giải:
Do 3 số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21 nên ta có
Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân nên ta có:
Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2 ; 3 ; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính F = x 2 + y 2 + z 2 .
A. F=389 Hoặc F=395
B.F=395 Hoặc F=179
C.F=389 Hoặc F=179
D.F=441 Hoặc F=357
Chọn C
*Theo tính chất của cấp số cộng , ta có x+ z = 2y.
Kết hợp với giả thiết, x+ y + z = 21, ta suy ra 3y = 21 nên y = 7.
* Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y − d = 7 − d và z = y + d = 7 + d .
Sau khi thêm các số 2 ; 3 ; 9 vào ba số x ; y ; z ta được ba số là x+ 2 ; y + 3 ; z + 9 hay
9- d ; 10 ; 16+ d.
* Theo tính chất của cấp số nhân, ta có
9 − d 16 + d = 10 2 ⇔ d 2 + 7 d − 44 = 0
Giải phương trình ta được d= -11 hoặc d= 4.
Với d = -11 ; cấp số cộng 18 ; 7 ; - 4. Lúc này F = 389.
Với d= 4, cấp số cộng 3 ; 7 ; 11. Lúc này F = 179.
Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó.
A. 3, 7, 11
B. 3; 8; 10
C. 18, 7, -4
D. Đáp án khác
Chọn D.
Gọi u1; u2; u3 tạo thành cấp số cộng.
Theo đề bài: u1 + 2; u2 + 3; u3 + 9 là ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân.
Theo đề bài:
Giải (*): (16 – u3)(u3 + 9) = 100 ⇔ -u32 + 7u3 + 44 = 0 ⇔ u3 =11 ∨ u3 = - 4
Với u3 = 11 ⇒ u1 = 3.
Với u3 = -4 ⇒ u1 = 18.