Khi M º B thì I là trung điểm của AC. Vậy khi I di chuyển trên đoạn AB thì M di chuyển trên đoạn thẳng I''I' là đường trung bình của DABC (với I' và I'' lần lượt là trung điểm của AC và AB)

Chứng minh được ADME là hình bình hành Þ I là trung điểm của AM. Tương tự 2A. I thuộc đường trung bình của D ABC (đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC)

Kẻ AH ⊥ BC,IK ⊥ BC ⇒ AH // IK

Trong ∆ AHM, ta có:

AI = IM (gt)

IK // AH ( chứng minh trên)

Suy ra IK là đường trung bình của  ∆ AHM

⇒ IK = 1/2 AH

∆ ABC cố định nên AH không thay đổi ⇒ IK = 1/2 AH không đổi.

I thay đổi cách BC một khoảng bằng AH/2 không đổi nên I nằm trên đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng AH/2

Khi M trùng với điểm B thì I trùng với điểm P là trung điểm của AB.

Khi M trùng với điểm C thì I trùng với điểm Q là trung điểm của AC.

Vậy khi M di chuyển trên cạnh BC của  ∆ ABC thì trung điểm I của AM chuyển động trên đường trung bình PQ của  ∆ ABC

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Ta sẽ chứng minh ba điểm E, I, F thẳng hàng.
Do E, I lần lượt là trung điểm của AB và AM nên EI là đường trung bình của tam giác ABM. Suy ra:
EI \\ BM suy ra EI // BC. (1)
Do I, F lần lượt là trung điểm của AC và AM nên IF là đường trung bình của tam giác AMC.
Suy ra: IF // MC suy ra FI // BC. (2)
Từ (1) và (2) ta có EI và FI cùng song song với BC nên ba điểm E, F, I thẳng hàng.
Do E, F cố định nên khi M khi di chuyển trên BC thì I di chuyển trên EF.

a) Tứ giác ADME có: 

⇒ ADME là hình chữ nhật

O là trung điiểm của đường chéo DE nên O cũng là trung điểm của đường chéo AM.

Vậy A, O, M thẳng hàng.

b) Kẻ AH ⊥ BC; OK ⊥ BC.

Ta có OA = OM, OK // AH (cùng vuông góc BC)

⇒ MK = KH

⇒ OK là đường trung bình của ΔMAH

⇒ OK = AH/2.

⇒ điểm O cách BC một khoảng cố định bằng AH/2

⇒ O nằm trên đường thẳng song song với BC.

Mặt khác khi M trùng C thì O chính là trung điểm của AC, khi M trùng B thì O chính là trung điểm của AB.

Vậy O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của tam giác ABC.

c) Vì AH là đường cao hạ từ A đến BC nên AM ≥ AH (trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất).

Vậy AM nhỏ nhất khi M trùng H.

Bạn chỉ cần chứng minh AEDM là HCN ;O là trung điểm của DE =>O cũng là trung điểm của AM =>O,M,A thẳng hàng
b,
Gọi P ,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC
=> giới hạn :
*Khi M trùng với B=> O trùng với P
*Khi M trùng với C=> O trùng với Q
=> I thuộc PQ
c,
Kẻ đường cao AH
Khi M trùng với H thì AM ngắn nhất (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)