Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴መ > 90௢). Gọi 𝐸 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝐵𝐶, 𝐹 là hình
chiếu vuông góc của 𝐶 trên 𝐴𝐷.
a) Tứ giác 𝐴𝐸𝐶𝐹 là hình gì? Vì sao?
b) 𝐵𝐷 cắt 𝐴𝐸 tại 𝐻, cắt 𝐶𝐹 tại 𝐾. Chứng minh rằng 𝐴𝐾 = 𝐶𝐻.
c) Gọi 𝐼 là giao điểm của 𝐴𝐾 và 𝐶𝐷, 𝐽 là giao điểm của 𝐶𝐻 và 𝐴𝐵. Chứng minh rằng 𝐸𝐼 ⊥ 𝐸𝐽
 

a: Xét tứ giác BHCD có 

CH//BD

BH//CD

Do đó: BHCD là hình bình hành

a: Xet ΔABC và ΔEBA có

góc BAC=góc BEA
góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔEBA

b: ΔABC vuông tại A có AE vuông góc BC

nên AB^2=BE*BC

c: BF là phân giác

=>AF/AB=CF/BC

=>AF/3=FC/5=4/8=1/2

=>AF=1,5cm

a) tam giác AEB vuông tại E có EH là đường cao \(\Rightarrow BH.BA=BE^2\)

tam giác CEB vuông tại E có EK là đường cao \(\Rightarrow BK.BC=BE^2\)

\(\Rightarrow BH.BA=BK.BC\)

b) \(BH.BA=BK.BC\Rightarrow\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BA}\)

Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BCA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ABCchung\\\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BA}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BHK\sim\Delta BCA\left(c-g-c\right)\)

b) \(\Delta BHK\sim\Delta BCA\Rightarrow\angle BHK=\angle BCA\)

Kẻ \(ED\bot CF\) 

Vì \(\angle EHF=\angle EDF=\angle HFD=90\Rightarrow EHFD\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow HD\) và EF cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

Vì \(\Delta EHF\) vuông tại H có I là trung điểm EF 

\(\Rightarrow\angle FHI=\angle HFI=\angle AFE\left(1\right)\)

Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta AEB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\angle AFC=\angle AEB=90\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AFC\sim\Delta AEB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AFE=\angle ACB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\angle FHI=\angle ACB=\angle BHK\Rightarrow\angle BHD=BHK\)

\(\Rightarrow H,D,K\) thẳng hàng \(\Rightarrow H,I,K\) thẳng hàng

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBEA vuông tại E có EH là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(BH\cdot BA=BE^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBEC vuông tại E có EK là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(BK\cdot BC=BE^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BA=BK\cdot BC\)

b) Xét ΔBHK và ΔBCA có 

\(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BA}\)(cmt)

\(\widehat{HBK}\) chung

Do đó: ΔBHK\(\sim\)ΔBCA(c-g-c)

a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCAB vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(CH\cdot CB=AC^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCDB vuông tại C có CA là đường cao ứng với cạnh huyền DB, ta được:

\(AD\cdot AB=CA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(CH\cdot CB=AD\cdot AB\)