Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tran Trong Tan

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có ba góc nhọn, đường cao 𝐵𝐸. Từ E kẻ 𝐸𝐻, 𝐸𝐾 vuông góc với 𝐵𝐴, 𝐵𝐶. a) Chứng minh 𝐵𝐻. 𝐵𝐴 = 𝐵𝐾. 𝐵𝐶 b) Chứng minh ∆𝐵𝐻𝐾~∆𝐵𝐶𝐴. c) Kẻ 𝐶𝐹 vuông góc với 𝐴𝐵, gọi 𝐼 là trung điểm của 𝐸𝐹. Chứng minh ba điểm 𝐻,𝐼,𝐾 thẳng hàng. 

An Thy
14 tháng 7 2021 lúc 17:23

a) tam giác AEB vuông tại E có EH là đường cao \(\Rightarrow BH.BA=BE^2\)

tam giác CEB vuông tại E có EK là đường cao \(\Rightarrow BK.BC=BE^2\)

\(\Rightarrow BH.BA=BK.BC\)

b) \(BH.BA=BK.BC\Rightarrow\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BA}\)

Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BCA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ABCchung\\\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BA}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BHK\sim\Delta BCA\left(c-g-c\right)\)

b) \(\Delta BHK\sim\Delta BCA\Rightarrow\angle BHK=\angle BCA\)

Kẻ \(ED\bot CF\) 

Vì \(\angle EHF=\angle EDF=\angle HFD=90\Rightarrow EHFD\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow HD\) và EF cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

Vì \(\Delta EHF\) vuông tại H có I là trung điểm EF 

\(\Rightarrow\angle FHI=\angle HFI=\angle AFE\left(1\right)\)

Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta AEB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\angle AFC=\angle AEB=90\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AFC\sim\Delta AEB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AFE=\angle ACB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\angle FHI=\angle ACB=\angle BHK\Rightarrow\angle BHD=BHK\)

\(\Rightarrow H,D,K\) thẳng hàng \(\Rightarrow H,I,K\) thẳng hàng

undefined

Nguyễn Lê Phước Thịnh
14 tháng 7 2021 lúc 23:27

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBEA vuông tại E có EH là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(BH\cdot BA=BE^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBEC vuông tại E có EK là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(BK\cdot BC=BE^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BA=BK\cdot BC\)

b) Xét ΔBHK và ΔBCA có 

\(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BA}\)(cmt)

\(\widehat{HBK}\) chung

Do đó: ΔBHK\(\sim\)ΔBCA(c-g-c)


Các câu hỏi tương tự
thanh thuý
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Tấn
Xem chi tiết
Bánh Canh Chua Ngọt
Xem chi tiết
Tran Hai Nam
Xem chi tiết
48 Nguyễn Thị Minh Xuân
Xem chi tiết
Đại Phạm
Xem chi tiết
Gia Bảo
Xem chi tiết
Nguyễn Bảo Nhi
Xem chi tiết
đá phê
Xem chi tiết