Đáp án đúng : A

Đáp án D

Đáp án là D

Đáp án C

Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ HK vuông góc với SM.

Ta có: 

Mặt khác ta có HK ⊥ SM

Suy ra HK ⊥ (SCD)

Vậy 

Xét tam giác BHC vuông tại B, ta có:

Xét tam giác SHM vuông tại H, ta có: 

Chọn đáp án C

HC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:  S C H ^   =   45 °

Kẻ 

Kẻ

Ta có: 

Tam giác SHC vuông cân tại H vì 

Mặt khác: HI = AD = a

Xét tam giác SHI vuông tại H: 

Gọi M là trung điểm CD, P là hình chiếu của H lên SM khi đó H M ⊥ C D ; C D ⊥ S H  mà H P ⊥ S M ⇒ H P ⊥ S C D . Lại có A B / / C D  suy ra A B / / S C D ⇒ d A ; S C D = d H ; S C D = H P

Ta có 1 H P 2 = 1 H M 2 + 1 H S 2  suy ra H P = a 6 3  

Vậy d A ; S C D = a 6 3

Đáp án A

Gọi M là trung điểm CD

Từ H lần lượt kẻ \(HE\perp SB\) và \(HF\perp SM\)

HM song song AD \(\Rightarrow CD\perp HM\Rightarrow CD\perp\left(SHM\right)\Rightarrow HF\perp\left(SCD\right)\)

\(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp HE\Rightarrow HE\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc nhọn giữa HE và HF là góc giữa (SBC) và (SCD)

\(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=a\) \(\Rightarrow\Delta SBH\) vuông cân \(\Rightarrow SE=HE=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(HM=BC=a\Rightarrow\Delta SHM\) vuông cân \(\Rightarrow SF=HF=\dfrac{SM}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{SF}{SM}=\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác SBM 

\(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+a^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow HE=HF=EF\Rightarrow\Delta HEF\) đều

\(\Rightarrow\widehat{EHF}=60^0\) hay góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 60 độ

Cách 2:

Ta có \(SH=\sqrt{SA^2-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=a\)

Gọi M là trung điểm CD

Đặt hệ trục Oxyz vào chóp với O trùng H, tia Ox trùng tia HB, tia Oy trùng tia HM, tia Oz trùng tia HS

Quy ước a là 1 đơn vị độ dài \(\Rightarrow\) ta có các tọa độ:

\(S\left(0;0;1\right)\) ; \(B\left(1;0;0\right)\) ; \(C\left(1;1;0\right)\) ;  \(D\left(-1;1;0\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{SB}=\left(1;0;-1\right)\) ; \(\overrightarrow{SC}=\left(1;1;-1\right)\) ; \(\overrightarrow{SD}=\left(-1;1;-1\right)\)

\(\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SC}\right]=\left(1;0;1\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{n_{\left(SBC\right)}}=\left(1;0;1\right)\) là 1 vtpt của (SBC)

\(\left[\overrightarrow{SC};\overrightarrow{SD}\right]=\left(0;2;2\right)=2\left(0;1;1\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{\left(SCD\right)}}=\left(0;1;1\right)\) là 1 vtpt của (SCD)

\(\Rightarrow cos\left[\left(SBC\right);\left(SCD\right)\right]=\dfrac{1.0+0.1+1.1}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}.\sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\left(SBC\right);\left(SCD\right)\right)=60^0\)

Đáp án B

Tam giác HCD vuông tại  C ⇒ H D = H C 2 + C D 2 = a 6 2

Tam giác BCD vuông tại  C ⇒ sin C B D ⏜ = C D B D = 1 3

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp Δ H B D  là

R Δ H B D = H D 2. sin H B D ⏜ = a 6 2 : 2 3 = 3 a 2 4

Bán kính mặt cầu cần tính là  R = R Δ H B D 2 + S H 2 4 = a 5 2