Đặt m = x - 1 .Điều kiện : m ≥ 0, x  ≥  1

Ta có : x -  x - 1 -3 = 0 ⇔ (x -1) - x - 1  -2 =0

⇔  m 2  -m - 2 =0

Phương trình  m 2  -m - 2 = 0 có hệ số a = 1, b = -1 , c = -2 nên có dạng

a – b + c = 0

Suy ra :  m 1  = -1 (loại) ,  m 2  = -(-2)/1 = 2

Với m =2 ta có: x - 1  =2 ⇒ x -1 =4 ⇔ x =5

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=5

Đặt m= x 2  -3x +2

Ta có: ( x 2  -3x +4)( x 2  -3x +2) =3

⇔ [( x 2  -3x +2 +2)( x 2  -3x +2) -3 =0

⇔ x 2 - 3 x + 2 2  +2( x 2  -3x +2) -3 =0

⇔  m 2  +2m -3 =0

Phương trình  m 2  +2m -3 = 0 có hệ số a = 1, b = 2 , c = -3 nên có dạng

a +b+c=0

suy ra :  m 1  =1 , m 2  =-3

Với  m 1  =1 ta có:  x 2  -3x +2 =1 ⇔  x 2  -3x +1=0

∆ = - 3 2  -4.1.1 = 9 -4 =5 > 0

∆ = 5

Với  m 2  =-3 ta có:  x 2  -3x +2 =-3 ⇔  x 2  -3x +5=0

∆  = - 3 2  -4.1.5 = 9 -20 =-11 < 0.Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :

Đặt m =  x 2  +3x -1

Ta có:  x 2 + 3 x - 1 2  +2( x 2  +3x -1) -8 =0 ⇔  m 2  +2m -8 =0

∆ ’ = 1 2  -1.(-8) =1 +8 =9 > 0

∆ ' = 9  =3

Với m = 2 thì :  x 2 +3x - 1 = 2 ⇔  x 2  + 3x - 3 = 0

∆ ’ =  3 2  -4.1.(-3 )=9 +12=21 > 0

∆ ' = 21

Với m = -4 ta có:  x 2  +3x -1 = -4 ⇔  x 2  +3x +3 = 0

∆  =  3 2  -4.1.3=9 -12 = -3 < 0

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :

Đặt m = 2 x 2  +x -2

Ta có: 2 x 2 + x - 2 2 +10 x 2  +5x -16 =0

⇔  2 x 2 + x - 2 2 +5(2 x 2  +x -2) -6 =0

⇔  m 2  +5m -6 =0

Phương trình  m 2  +5m -6 = 0 có hệ số a = 1, b = 5, c = -6 nên có dạng

a + b + c = 0

Suy ra :  m 1  =1 , m 2  =-6

m1 =1 ta có: 2 x 2  +x -2 =1 ⇔ 2 x 2  +x -3=0

Phương trình 2 x 2  +x -3 = 0 có hệ số a = 2, b = 1 , c = -3 nên có dạng

a +b+c=0

Suy ra:  x 1  =1 , x 2  =-3/2

Với m=-6 ta có: 2 x 2  +x -2 = -6 ⇔ 2 x 2  +x +4 =0

∆  =  1 2  -4.2.4 = 1 -32 = -31 < 0 . Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :  x 1  =1 , x 2  =-32

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (1; 2).

Nếu đặt u = x 2 − 1 thì x 2  = u + 1 nên phương trình có dạng

( 2  + 2)u = 2(u + 1) −  2  (1)

Ta giải phương trình (1):

(1) ⇔  2 u + 2u = 2u + 2 −  2

⇔  2 u = 2 −  2

⇔  2 u =  2 ( 2  − 1) ⇔ u =  2  − 1

⇔ x 2  − 1 =  2  − 1

⇔ x 2  = 2

⇔ x = 1

Đặt \(\dfrac{x}{\sqrt{4x-1}}=a\)

Theo đề, ta có phương trình:

a+1/a=2

\(\Leftrightarrow a+\dfrac{1}{a}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1-2a}{a}=0\)

=>a=1

=>\(x=\sqrt{4x-1}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=4x-1\\x>=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2=3\\x>=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{2+\sqrt{3};2-\sqrt{3}\right\}\)