Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 4 ; y = - x 2 4 , x = - 4 , x = 4 và hình H 2 là hình gồm các điểm x ; y thỏa x 2 + y 2 ≤ 16 , x 2 + y - 2 2 ≥ 4 . Cho H 1 v à H 2 quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V 1 , V 2 . Đẳng thức nào dưới đây đúng
A. V 1 = V 2
B. V 1 = 1 2 V 2
C. V 1 = 2 V 2
D. V 1 = 2 3 V 2
Chọn đáp án A
Hình phẳng H 1 được biểu diễn bằng miền tô đậm trong hình vẽ bên.
Thể tích khối trụ bán kính r = 4 chiều cao h = 8 là V = πr 2 h = 128 π đvtt
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 4 trục hoành, đường thẳng y = 4 xung quanh trục tung là
Suy ra thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay H 1 quanh trục Oy là:
V 1 = V - 2 V P = 64 π (đvtt).
* Hình phẳng H 2 được biểu diễn bằng miền tô đậm trong hình vẽ bên.
Thể tích khối cầu lớn bán kính R = 4 là V L = 4 3 π . R 3 = 256 π 3 (đvtt)
Thể tích khối cầu nhỏ bán kính r = 2 là V N = 4 3 πr 3 = 32 π 3
Suy ra thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay H 2 quanh trục Oy là
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi ( H 1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 4 ; y = - x 2 4 ; x=4; x = -4
và ( H 2 ) là hình gồm tất cả các điểm (x;y) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ 16 ; x 2 + ( y - 2 ) 2 ≥ 4 ; x 2 + ( y + 2 ) 2 ≥ 4
Cho H 1 và H 2 quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V 1 , V 2 . Đẳng thức nào sau đây đúng?
V 1 bằng thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao bằng 8 trừ bốn lần thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi vật thể giới hạn bởi các đường
Đáp án B
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi H 1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 4 , y = − x 2 4 , x = − 4 , x = 4
và H 2 là hình gồm tất cả các điểm (x,y) thỏa x 2 + y 2 ≤ 16 , x 2 + ( y − 2 ) 2 ≥ 4 , x 2 + ( y + 2 ) 2 ≥ 4.
Cho H 1 và H 2 quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V 1 , V 2 . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. V 1 = 1 2 V 2 .
B. V 1 = V 2 .
C. V 1 = 2 3 V 2 .
D. V 1 = 2 V 2 .
Đáp án B
V 1 bằng thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao bằng 8 trừ bốn lần thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi vật thể giới hạn bởi các đường x = 2 y , x = 0 , y = 0 , x = 4 quay quanh trục Oy
. V 1 = π .4 2 .8 − 4 π ∫ 0 4 2 y d y = 64 π . Thể tích
V 2 = 4 3 π ( 4 3 − 2 3 − 2 3 ) = 64 π .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình ( H 1 ) giới hạn bởi các đường y = 2 x , y = − 2 x , x = 4 ; hình ( H 2 ) là tập hợp tất cả các điểm M ( x ; y ) thỏa mãn các điều kiện: x 2 + y 2 ≤ 16 ; ( x − 2 ) 2 + y 2 ≥ 4 ; ( x + 2 ) 2 + y 2 ≥ 4. Khi quay ( H 1 ) , ( H 2 ) quanh Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V 1 , V 2 . Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. V 2 = 2 V 1 .
B. V 2 = V 1 .
C. V 1 + V 2 = 48 π .
D. V 2 = 4 V 1 .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình (H1) giới hạn bởi các đường y = 2 x , y = - 2 x , x=4; hình (H2) là tập hợp tất cả các điểm M(x;y) thỏa mãn các điều kiện x 2 + y 2 ≤ 16 ; x - 2 2 + y 2 ≥ 4 ; x + 2 2 + y 2 ≥ 4 . Khi quay (H1);(H2) quanh Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V1, V2 .Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 
B. 
C. 
D. 
Tính diện tích giới hạn bởi các đường y = x 2 - 4 x + 3 , y = 3 trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta có kết quả:
A. 6
B. 10
C. 8
D. 12
Tính diện tích giới hạn bởi các đường y = x 2 - 4 x + 3 , y = 3 trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta
có kết quả:
A. 6
B. 10
C. 8
D. 12
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O và điểm I(0;1;1). Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi S.
A. 36 2 π
B. 18 π
C. 36 π
D. 18 2 π
Đáp án A
Phương pháp:
Tính khoảng cách từ 1 điểm M đến đường thẳng
là 1 điểm bất kì
Cách giải:
là một VTCP
Như vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O và điểm I (0;1;1). Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đường thẳng Δ một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi S.
A. 36π
B. 36 2 π
C. 18 2 π
D. 18 π
Vậy quỹ tích M trên (Oxy) là hình Elip với
