+ P(x) chia hết cho x + 1

⇔ P(-1) = 0

⇔ m.(-1)3 + (m – 2)(-1)2 – (3n – 5).(-1) – 4n = 0

⇔ -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0

⇔ -n – 7 = 0

⇔ n = -7 (1)

+ P(x) chia hết cho x – 3

⇔ P(3) = 0

⇔ m.33 + (m – 2).32 – (3n – 5).3 – 4n = 0

⇔ 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0

⇔ 36m – 13n = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

http://lazi.vn/edu/exercise/biet-rang-da-thuc-px-chia-het-cho-da-thuc-x-a-khi-va-chi-khi-pa-0-hay-tim-cac-gia-tri-cua-m-va-n

Bài tham khảo:

a) Ta có f(x) - 5 \(⋮\)x + 1 

=> x³ + mx² + nx + 2 - 5 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx² + nx  - 3 \(⋮\)x + 1

=> x = - 1 là nghiệm đa thức 

Khi đó (-1)³ + m(-1)² + n(-1) - 3 = 0

<=> m - n = 4 (1) 

Tương tự ta được f(x) - 8 \(⋮\)x + 2 

=> x³ + mx² + nx - 6 \(⋮\) x + 2

=> x = -2 là nghiệm đa thức

=> (-2)³ + m(-2)² + n(-2) - 6 = 0

<=> 2m - n = 7 (2) 

Từ (1)(2) => HPT \(\left\{{}\begin{matrix}m-n=4\\2m-n=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\n=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức đó là f(x) = x³ + 3x² - x + 2  

b)  f(x) - 7 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx + n - 7 \(⋮\) x + 1 

=> x = -1 là nghiệm đa thức 

=> (-1)³ + m(-1) + n - 7 = 0

<=> -m + n = 8 (1) 

Tương tự ta được : x³ + mx + n + 5 \(⋮\)x - 3 

=> x = 3 là nghiệm đa thức 

=> 3³ + 3m + n + 5 = 0

<=> 3m + n = -32 (2) 

Từ (1)(2) => HPT : \(\left\{{}\begin{matrix}3m+n=-32\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m=-40\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-10\\n=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy f(x) = x³ - 10x -2

P(x) chia hết cho x + 1 ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0.

P(x) chia hết cho x - 3 ⇔ P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.

⇔ ⇔

⇔

Theo bài ta có :

\(P\left(x\right)⋮\left(x-1\right)\) \(\Rightarrow P\left(1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m+m+1-4n-3+5n=0\)

\(\Leftrightarrow2m+n=2\) (1)

Lại có \(P\left(x\right)⋮\left(x+2\right)\Rightarrow P\left(-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4m+4\left(m+1\right)-\left(4n+3\right).\left(-2\right)+5n=0\)

\(\Leftrightarrow8m+13n=-12\) (2)

Giải hệ (1) và (2) suy ra \(m=\frac{19}{9};n=\frac{-20}{9}\)

Đa thức P(x) bằng đa thức 0

Vậy với m = 3 vào n = 2 thì đa thức P(x) bằng đa thức 0.

Kiến thức áp dụng

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

1) Nhân hai vế của phương trình với mỗi hệ số thích hợp (nếu cần) sao cho hệ số của một trong hai ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.

2) Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

3) Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho và kết luận.

Đa thức P(x) bằng đa thức 0

Vậy với m = 3 vào n = 2 thì đa thức P(x) bằng đa thức 0.